Задача 8448 В основании прямой призмы ABCA1B1C1...

slava191

09.04.2016

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB=AC). Точка К - середина ребра B1C1.

А) Докажите, что прямая AB1 параллельна плоскости CKA1.

Б) Найдите расстояние от прямой AB1 до плоскости CKA1, если известно, что СВ=6, CA=5, CC1=12

MaksimChebykin

09.04.2016

★

а) Рассмотрим плоскость CBB_1 Через точку B_1 проведем в этой плоскости прямую, параллельную прямой CK. Точку пересечения этой прямой и прямой CB назовём L. Т.к. прямые CB и C_1B_1 параллельны, то CLB_1K - параллелограмм. Отсюда следует, что CL=C_1K. Таким образом L лежит на отрезке CB. Проведем через точки A и L прямую. Т.к. у призмы основания - равные треугольники, лежащие в параллельных плоскостях, то и их медианы AL и A_1K будут параллельны, как соответственные элементы этих треугольников. Вместе с прямой AB_1 у нас получилась плоскость AB_1L. У этой плоскости пересекающиеся прямые AL и LB_1 соответственно параллельные пересекающимся прямым A_1K и CL в плоскости A_1CK. Значит эти плоскости параллельны. Отсюда следует, что прямая AB_1 параллельна плоскости A_1CK (т.к. она лежит в параллельной ей плоскости).
б) Геометрическое решение оказалось очень простым. Проведём из точки K перпендикуляр к прямой B_1L. Его основание обозначим буквой K' Этот перпендикуляр лежит в плоскости C_1CBB_1 которая перпендикулярна плоскости A_1B_1_C1 (Призма то у нас прямая) А значит прямая KK' перпендикулярна плоскости A_1B_1_C1 и в том числе одной из ее прямых - A1L. Т.к. прямые CK и LB_1 параллельны, то угол CKK' тоже прямой. И того отрезок KK'перпендикулярен двум прямым из плоскости A1CK а значит и перпендикулярен всей плоскости. А значит его длина - и есть искомое расстояние между плоскостями. Угол KB_K' равен углу CKC_1 (из параллельности прямых) отсюда следует, что треугольники KB_K' и CKC_1 подобны. KB_1/CK=KK'/CC_1 Из теоремы Пифагора для треугольника CKC_1 CK=sqrt(CC_1^2+C1K^2)=sqrt(12^2+9^2)=3*sqrt(17) Итого KK'=3*12/3*sqrt(17)=12/sqrt(17)