Задача 8471 Дана правильная треугольная призма...

Julia_Trusova

10.04.2016

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите объём пирамиды A1ATC1.

а)Треугольник АТС1-сечение призмы указанной плоскостью
С1Т- медиана и высота треугольника А1В1С1(так как треугольник А1В1С1 равносторонний).
Из треугольника А1С1Т по теореме Пифагора: С1Т=sqrt(A1C1^2-A1T^2)=sqrt(16-4)=sqrt(12)=2sqrt(3).
Из треугольника АA1Т по теореме Пифагора: AТ=sqrt(AA1^2+A1T^2)=sqrt(16+4)=sqrt(20)=2sqrt(5).
Из треугольника AА1С1 по теореме Пифагора: AС1=sqrt(AA1^2+A1C1^2)=sqrt(16+16)=sqrt(2*16)=4sqrt(2).
Из треугольника АТС1 по теореме обратной теореме Пифагора:
(AT)^2+(TC1)^2=(AC1)^2
(2sqrt(5))^2+(2sqrt(3))^2=(4sqrt(2))^2
20+12=32
32=32
Значит, треугольник АТС1 прямоугольный

б)Рассмотрим пирамиду А1АТС1:
С1А1⊥АА1, С1А1⊥А1В1, значит С1А1⊥(АА1Т)
С1А1-высота пирамиды
V(А1АТС1)=1/3*S(AA1T)*A1C1=1/3*1/2*2*4*4=16/3


Ответ: 16/3