Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 12185 ...

Условие

В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 все ребра равны между собой.

Точка К – середина ребра СС1. Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.

математика 10-11 класс 4401

Решение

Достроим треугольную призму АВСA1B1C1 до четырехугольной АВСDA2B2C2D2.
В основании ромб ABCD с острым углом 60 градусов.
Боковое ребро АА2=2*АА1
Прямые АВ1 и ВК - скрещивающиеся.
Через одну из скрещивающихся прямых АВ1 проводим плоскость параллельную ВК.
В1F||BK
AE||BК
АЕ=B1F
AEFB1- параллелограмм.
Пусть ребро данной призы равно а.
Из прямоугольного треугольника АСF по теореме Пифагора
AF^2=AC^+CF^2=a^+(3a/2)^2=13a^2/4.
Из прямоугольного треугольника АBB1 по теореме Пифагора
AB^2_(1)=AB^+BB^2_(1)=a^+a^2=2a^2.
Из прямоугольного треугольника BСK по теореме Пифагора
BK^2=BC^+CK^2=a^+(a/2)^2=5a^2/4.
BK=B1F
В треугольнике АB1F:
AF^2=AB^2_(1)+B1F^2
13a^2/4=2a^2+(5a^2/4)- верно.
По теореме обратной теореме Пифагора
треугольник АВ1F- прямоугольный.
АВ1 ⊥ В1F, а значит АВ1⊥ ВК


Ответ: В решение

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК