Задача 9851 В правильной треугольной пирамиде SABC...

slava191

07.09.2016

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка М так, что SM:MC=7:18.

а) Докажите, что плоскости SBC и АВМ перпендикулярны.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость АВМ.

SOVA

08.09.2016

★

В основании пирамиды равносторонний треугольник АВС, со стороной 6.
S=6•6•sin60°/2=9√3 кв. ед.
Пусть О-центр окружности, описанной около треугольника АВС.
ОА=ОВ=ОС=R=6√3/3=2√3;
Высота пирамиды H=SO.
Из прямоугольного SCO по теореме Пифагора
SO^2=SC^2-OC^2=5^2-(2√3)^2=25-12=13.
SO=√13

а)Боковые грани ASB, BSC, ASC - равнобедренные треугольники с основанием 6 и боковыми сторонами 5.
По теореме косинусов найдем угол при вершине такого равнобедренного треугольника.
cos α= (5^2+5^2-6^2)/2•5•5=14/50=7/25;
По теореме косинусов из треугольника SMB
MB^2=SM^2+SB^2-2SM•SB•cos α;
SM=7SC/25=7/5;
MB=24/5
Треугольник SMB - прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора.
SB^2=SM^2+MB^2 - верно, так как 5^2=(7/5)^2+(24/5)^2.
Значит, MB⊥SC.
Аналогично в треугольнике SAC:
AM⊥SC.
SC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, значит SC ⊥ пл. АМВ.
Плоскость SBC проходит через перпендикуляр к другой плоскости, значит плоскости SBC и АМВ перпендикулярны.

б)
V(пирамиды )=(1/3)•S(осн.)•H;
V(пирамиды SABC )=(1/3)•9√3•√13=3√39 куб. ед.

Проведем высоту МК пирамиды MABC.
MK || SO
Из подобия треугольников SOC и MKC
SO:MK=SC:MC ⇒ MK=18√13/25.

V(пирамиды MABC )=(1/3)•9√3•(18√13/25)=
=(54√39)/25куб.ед.

V(пирамиды SAMB)=V(пирамиды SABC) -V(пирамиды MABC )=
=3√39-((54√39)/25)=(21√39)/25 куб. ед.

О т в е т. б) (21√39)/25 куб. ед.