Задача 9768 Радиус основания конуса равен 6, а...

112233l

02.09.2016

Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

SOVA

02.09.2016

★

См. рисунок.
ОА=ОВ=r=6; SO=H=8.
SO⊥ пл. основания.
Из прямоугольного треугольника SAO по теореме Пифагора SA=10.

AC=CB=2.
Треугольник АОВ - равнобедренный. Медиана ОС является одновременно и высотой.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
AOC:
OC²=OA²-AC²=6²-2²=36-4=32;
OC=4√2.

a)ОС⊥АВ;
SO⊥AB ( SO⊥пл. основания).
АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, значит перпендикулярна плоскости SOC.
б) ∠SCO- линейный угол двугранного угла между пл. SOC и пл. SAB.

tg ∠SCO=SO/CO=8/(4√2)=√2;
∠SCO=arctg(√2).

О т в е т. б)arctg(√2).