Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 12895 ...

Условие

В основании пирамиды PABC лежит прямоугольный треугольник с катетами АС=6 и ВС=8. Прямая РС перпендикулярна плоскости АВС. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК:ВК=9:16.

А) Докажите, что прямые РК и АВ перпендикулярны.
Б) Найдите отношение радиусов сфер, вписанных в пирамиды РАСК и РВСК, если известно, что РС=2.

математика 10-11 класс 7660

Решение

А)По теореме Пифагора гипотенуза АВ^2=АС^2+BС^2⇒ АВ=10
Пусть АК=9х, тогда КВ=16х и АВ:КВ=9:16,
АВ=25х
25х=10
х=10/25
х=0,4
Значит АК=3,6 КВ=6,4 ( см. рис. )
Найдем СК из треугольника АСК по теореме косинусов:
СК^2=AC^2+AK^2-2*AC*AK*cos∠CАК.
Так как из прямоугольного треугольника АВС
cos∠A=АС/АВ=6/10, то
СК^2=6^2+(3,6)^2-2*6*3,6*(6/10)=23,04.
СK=4,8

S(Δ АВС)=(АС*ВС)/2 и S(Δ АВС)=(AB*h)/2⇒
АС*ВС=AB*h
h=6*8/10=4,8
CK=h и значит СК⊥АВ
По теореме о трех перпендикулярах РК⊥АВ.

Б) Для нахождения радиусов сфер, вписанных в пирамиды применяем формулу:
[b]V(пирамиды)=(1/3)*S(поверхности пирамиды)*r[/b]

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника РСК: РК^2=PC^2+CK^2=
=2^2+4,8^2=4+23,04=27,04=5,2^2
PK=5,2
Пирамида РАСК.

V(PACK)=(1/3)*S(Δ ACK)*PC=5,76

S(Δ ACK)=AK*CK/2=3,6*4,8/2=8,64;
S(Δ APC)=AC*PC/2=6*2/2=6;
S(Δ PCK)=PC*CK/2=2*4,8/2=4,8;
S(Δ APK)=AK*PK/2=3,6*5,2/2=9,36;
S(поверхности)=S(Δ ACK)+S(Δ APC)+S(Δ PCK)+
S(Δ APK)=8,64+6+4,8+9,36=28,8
r_(1)=3V(PACK)/S(поверх. PACK)=
=3*5,76/28,8=0,6

Пирамида РВСК.

V(PBCK)=(1/3)*S(Δ BCK)*PC=10,24

S(Δ BCK)=BK*CK/2=6,4*4,8/2=15,36;
S(Δ BPC)=BC*PC/2=8*2/2=8;
S(Δ PCK)=PC*CK/2=2*4,8/2=4,8;
S(Δ BPK)=BK*PK/2=6,4*5,2/2=16,64;
S(поверхности)=S(Δ BCK)+S(Δ BPC)+S(Δ PCK)+
S(Δ BPK)=15,36+8+4,8+16,64=44,8
r_(2)=3V(PBCK)/S(поверх.PBCK)=3*10,24/44,8=24/35;
r_(1):r_(2)=0,6:(24/35)=(6*35)/(10*24)=7/8
О т в е т. Б)7:8.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК