№10298. В треугольнике АВС ВА=8, ВС=7, угол B=120°. Вписанная в треугольник окружность w касается стороны АС в точке М.

а) Докажите, что АМ=ВС.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности w.

№10297. Решите неравенство (2^(x+1)sqrt(2^(x+1)-1))/(2^x-15) меньше или равно sqrt(2^(x+1)-1)/(2^x-8)

№10296. В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА:МР=9:16.

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды МАВС.

№10295. Дано уравнение |cosx+1|=cos2x+2

а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-7Pi/2; -2Pi]

№10294. В некотором государстве 30 городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно 10 авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов A, B, C замкнутой, если все три авиарейса AB, BC, CA осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?

№10293. На железнодорожной тележке массой M жестко закреплен вертикальный щит, повернутый на угол альфа от перпендикулярного рельсам положения. В щит бросают
мешок с песком массой m, горизонтальная составляющая начальной скорости которого равна v0 и перпендикулярна рельсам. Найдите скорость тележки после того, как мешок, ударившись о щит, сполз по нему вниз и упал на тележку. Найдите скорость тележки после того, как мешок, ударившись о щит, сполз по нему вниз и упал с тележки. Трением о щит принебречь и сопротивлением тоже. До удара тележка была неподвижна.

№10292. Треугольная пирамида SABC (S – вершина) обладает следующими свойствами:

1) длины проекций боковых ребер на плоскости боковых граней, не содержащих эти ребра (то есть проекция ребра SA на плоскость грани SBC, и так далее) – равны между собой;

2) длины проекций боковых ребер на плоскость основания пирамиды также равны между собой. Известно, что cosASB = -4/5, AB = 2. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.

№10291. Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:

{tgx = (20/9)cosy
{tgy = (20/9)cosz
{tgz = (20/9)cosx

№10290. Найдите наименьшее значение параметра p, для которого при всех 0 меньше или равно x меньше или равно 1, 0 меньше или равно y меньше или равно 3, 0 меньше или равно z меньше или равно 4 выполняется неравенство xyz+p больше или равно 15x+4y+3z?

№10289. Две окружности ω и Ω радиусов R=13.25 и r=9 касаются внутренним образом. Хорда AB окружности Ω касается окружности ω в точке C. Найдите длину хорды AB, если известно, что AC:BC=1:2.

№10288. Даны парабола y=10x^2 и прямая y=x-0.2 . Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие – на этой прямой?

№10287. Пусть (25cos^2x-29+40sinx)/(36-25sin^2x+30cosx)=6. Какое наибольшее значение может принимать 3sinx?

№10286. Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 20^(732). Найдите количество таких прогрессий.

№10285. Известно, что для положительных чисел a, b, c каждое из трех уравнений

ax^2+10bx+c=0
bx^2+10cx+a=0
cx^2+10ax+b=0

имеет хотя бы один действительный корень.

Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 7? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

№10284. Найдите наименьшее натуральное a такое, что выражение a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64) делится на 10^7