№20131. Длина стороны правильной четырёхугольной пирамиды равна sqrt(3), а угол наклона плоскости боковой грани к плоскости основания равен 60 градусов. Найдите объём пирамиды.

№20130. В правильной треугольной призме расстояние от центра верхнего основания призмы до вершины нижнего основания равно l = 4. Найдите наибольшее значение объёма этой призмы.

№20129. Четыре положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Сумма крайних членов прогрессии равна 27, а сумма средних членов прогрессии равна 18. Найдите первый член указанной прогрессии.

№20128. Дан треугольник ABC, в котором расположены три равные окружности ω_(1), ω_(2), ω_(3), с центрами в точках I_(1), I_(2), I_(3), проходящие через общую точку T. Окружность ω_(1) касается сторон AB и AC, окружность ω_(2) касается сторон BA и BC, окружность ω_(3) касается сторон CB и CA. Обозначим I — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, а O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что точки I, T, O лежат на одной прямой.

б) Найдите радиус трёх равных окружностей, если стороны треугольника ABC соответственно равны 13, 14, 15.

№20127. Точки K, L, M расположены на ребрах SA, SB, SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD соответственно, и при этом

SK/KA = 1/2; SL/SB = 1/5; SM/SC = 1/3

а) Докажите, что плоскость (KLM) проходит через вершину D пирамиды SABCD.

б) Найдите угол между плоскостью (KLM) и плоскостью основания пирамиды (ABCD), если SA = b = 2, AB = a = 1.

№20126. На двух шахтах добывается руда: на первой шахте 100 тонн в день, на второй —220 тонн в день. Добытая руда перерабатывается на двух заводах. Первый способен переработать не более 200 тонн руды в день, а второй — не более 250 тонн руды в день. Стоимость перевозки одной тонны руды от шахты на завод представлена в таблице.

Найдите наименьшую стоимость перевозок.

№20125. Решите неравенство:
log(x-2)3 + log(x+2)3 > log(x-2)3*log(x+2)3

№20124. Три колокола начинают бить одновременно. Интервалы между их ударами составляют 4 секунды, 5 секунды и 6 секунд. Соотвественно через сколько минут все три колокола ударятся вместе второй раз?

№20123. а) Решите уравнение cos^2x + 9cos^22x - 6cosx*cos2x + 8cosx - 24cos2x + 16 = 0.

б) Найдите решения уравнения, принадлежащие промежутку [2016Pi; 2018Pi]

№20122. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки P и T- середины ребер AB и AD соответственно. K принадлежит A1C1 и KD1:KA1=1:2. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки P, T и K.

№20121. Найдите значение выражения 3(cos20-sin20)/(sqrt(2)sin25)

№20120. Решите уравнение log(sinx)(5-6sinx)/8 = 2. Укажите решения уравнения, принадлежащие отрезку [0; Pi].

№20119. Вкладчик решил разместить в банке 1000 тысяч рублей сроком на 1 год. Банк предлагает две стратегии: первая — начислить 7% годовых, если вклад будет размещён целиком. Либо предлагается разбить вклад на три части. Тогда на меньшую часть будет начислено 15%, на среднюю — 10% и на большую будет начислено 5% годовых. Какую наибольшую прибыль может получить вкладчик, если большая часть должна отличаться от меньшей части не менее чем на 100 тысяч рублей, но не более чем на 300 тысяч рублей?

№20117. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, равными соответственно а и c, c < а, боковая сторона BC перпендикулярна основаниям и равна b. Из точки P стороны AD, делящей её так, что AP : PD = n : m, n > = m, к этой стороне проведён перпендикуляр, пересекающий сторону BC в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника APQB, PQCD

№20116. Решите неравенство log(x-2)(x^2-6x+8) > log(x-3)(x^2-6x+8)