Профиль пользователя cnlex

а)Имеем 19(3a+2c)=12(b+d) => 57a+38c=12b+12d. Попробуем добиться равенства, приравняв 57a=12b и 38с=12d. Первое выполняется при a=12,b=57. Второе при c=12,d=38. Но поскольку все числа должны быть разные, возьмем с=12*2=24, тогда d=76. Ответ: может, например при a=12,b=57,с=24, d=76.

б)Задача сводится к рассмотрению равенства (3a+2c)/(b+d)=11(3a/b + 2c/d) или 3а/(b+d)+2c/(b+d)=(3a*11)/b+(2c*11)/d. Видно, что для положительных a,b,c,d выполняется 3а/(b+d)< (3a*11)/b, потому что числитель у второй дроби в 11 раз больше , а знаменатель меньше на положительную величину d. Аналогично 2c/(b+d)< (2c*11)/d. Значит (3a+2c)/(b+d)<11(3a/b + 2c/d). Ответ: не может.

в)Чтобы дробь была наименьшей, нужно числитель сделать как можно меньше, поэтому возьмем a=3b+1, c=2d+1. Т.к. величины a и с не должны превышать 99, величины b и d должны быть ограничены так: b<=32, d<=49. Имеем (9b+3+4d+2) /(b+d)= (4b+4d+5b+5)/(b+d)=4(b+d)/(b+d)+5(b+1)/(b+d)=4+5(b+1)/(b+d). Задача свелась к нахождению наименьшего значения дроби (b+1)/(b+d). Чтобы знаменатель был больше, нужно взять наибольшее d. Возьмем d=49. Имеем (b+1)/(b+d)=(b+49-48)/(b+49)=1-48/(b+49). Чтобы эта величина была наименьшей, надо из единицы вычесть наибольшую дробь, т.е. дробь с самым маленьким знаменателем. А для этого надо взять наименьшее b, а это b=10.
Ответ: При b=10,а=31, d=49, c=99 достигается наименьшее возможное значение дроби (3a+2c)/(b+d)=291/59=4,93220....
Примечание:Ранее я ошибочно указывал в качестве ответа: b=11,а=34, d=49, c=99. Благодарю за указание на ошибку.

Пусть x-a>0, т.е. x>a, тогда f(x)=x-a-х^2. Производная f'(x)=1-2x. f'(x)=0 при x=1/2. f(1/2)=1/2-a-1/4=1/4-a.
f(1/2)>=1 при 1/4-a>=1 -> a<=-3/4. Итак, при a<=-3/4 есть точка x=1/2 (которая удовлетворяет условию x-a>0), что f(x)>=1.
Аналогично рассматриваем симметричный случай, когда x-a<0.
Если x=a, то f(x)=-x^2<=0<1.
Ответ: a принадлежит (-00;-3/4]U[3/4;+00).

а)Могут. Например: (1+9)/2=5, (5)/1=5, остальные числа в группе 3. Во всех группах разное количество чисел.
б)Докажем "от противного". Пусть числа разбиты на группы в N,M,K элементов. N+M+K=10. В каждой группе ср.арифметическое равно S, тогда NS+MS+KS=1+2+3+4+5+6+7+8+9+16=61.
Отсюда NS+MS+KS=S(N+M+K)=10S=61, поэтому S=61/10. Но NS=N*61/10 должно быть целым числом, потому что это сумма чисел в группе. Кол-во элементов N от 1 до 8. Но любое N в этих пределах не дает целое N*61/10. Поэтому ответ на б) "не может".

задача 3. Если n человек обменялись рукопожатиями, то каждый пожал руки (n-1) человеку (т.е. всем кроме себя). Но всего рукопожатий n(n-1)/2, потому что, если один пожал руку другому ,то и другой пожал руку первому. Подбираем число n, чтобы n(n-1)/2 было близко к 197. При n=20 получим 20*19/2=190, а при n=21 получаем 21*20/2=210. Значит в компании было 21 человек. Если бы Федот совсем не участвовал в рукопожатиях, то получилась как бы компания из 20 человек и сделано бы было 190 рукопожатий. Получается, что Федот сделал 197-190=7 рукопожатий.

Разрежем куб на две равные части (две призмы) плоскостью, проходящей через отрезки AD1 и BC1. Призма AD1DBC1C разбивается плоскостью BDC1 на две пирамиды-треугольную и четырёхугольную. 4угольная пирамида имеет основанием прямоугольник AD1C1B и вершину D. Её объём равен одной третьей произведения площади основания на высоту. Площадь основания равна 1*sqrt(2), высота равна sqrt(2)/2 т.к. это половина диагонали A1D.
Поэтому объём равен (1/3)*1*sqrt(2)*sqrt(2)/2=1/3.
Объём треугольной пирамиды BDC1С равен 1/2-1/3=1/6 (потому что вместе с 4угольной она составляет половину единичного куба).

С другой стороны, объём пирамиды равен V=Sh/3. Отсюда h=3V/S. S=(a^2)sqrt(3)/4, потомоу что это равносторонний треугольник со стороной а=sqrt(2). S= 2*sqrt(3)/4=sqrt(3)/2. h=3*(1/6)/(sqrt(3)/2)=1/sqrt(3)
А эта высота и есть искомое расстояние от точки С до BDC1. Ответ:1/sqrt(3)= sqrt(3)/3

Проверим решение уравнения sin2x – cos2x = 0 от G. TOREBEK.
Если x=π/4 + πn, то 2х=π/2 + 2πn. Поэтому sin(π/2 + 2πn)-cos(π/2 + 2πn)=0.
Слагаемое 2πn в аргументе можно отбросить, т.к. оно не влияет на вычисление синуса или косинуса. Поэтому получаем sin(π/2)=cos(π/2) т.е. 1=0, что неверно.

Дополнение к решению от Slava191. "ВНЕШНИЙ угол при вершине С равен 150 °", значит угол С = 180-150=30°. Поэтому BK=BC·sin alpha= 24 sin 30°= 24*0.5=12

б)2sin^2 2x–5sin2xcos2x+2cos^2 2x=0. Из основного тр.тождества имеем
2sin^2+2cos^2=2(sin^2+cos^2)=2*1=2
Поэтому получим 2-5sin(2x)cos(2x)=0 => sin(2x)cos(2x)=2/5 => 2sin(2x)cos(2x)=4/5 По ф-ле двойного угла: sin 4x=4/5
Решая уравнение получаем: 4х=((-1)^k)arcsin(4/5)+Пк, где k-целое
x=((-1)^k)(1/4)arcsin(4/5)+Пk/4, где k-целое

Заменим t=sin2x, имеем cos2x=sqrt(1-t^2), где sqrt - кв.корень.
Имеем t^2=1-t^2 (Осторожно, возможно получатся посторонние корни!)
2(t^2)=1 => t^2=1/2 => t=(+/-)1/sqrt(2).
Делаем обратную замену sin 2x= (+/-)1/sqrt(2). 2x=(+/-)П/4+Пk, k-целое.
x=(+/-)П/8+Пk/2.
Проверим на посторонние корни ,подстановкой в исх.уравнение.
При x=П/8+Пk/2, имеем sin(П/4+Пk)=(по ф-лам приведения)=((-1)^k)sin(П/4)=((-1)^k)/sqrt(2).
cos(П/4+Пk)=(по ф-лам приведения)=((-1)^k)cos(П/4)=((-1)^k)/sqrt(2). Корень подходит.
А при x=-П/8+Пk/2, sin(-П/4+Пk)= )=((-1)^(k+1))/sqrt(2).
cos(-П/4+Пk)=((-1)^k))/sqrt(2). Не совпадает! Значит это посторонний корень.
Ответ: x=П/8+Пk/2, где k – целое.

Если делится на 15, значит делится на 5. Число не должно содержать цифру 0, иначе произведение цифр будет равно 0, а должно быть больше. Значит последняя цифра числа =5, а произведение остальных <=25/5=5. Возможные пары чисел, произведение которых <= 5 это 1*1, 1*2,1*3, 2*2. Значит одна из цифр равна 1. Сумма всех цифр должна делиться на 3, т.к. число делится на 15. Две цифры 1 и 5 в сумме составляют 6 (кратно 3), значит сумма оставшихся должна делиться на 3. Это только 1 вариант 1*2.
Получаем: последняя цифра 5, а остальные 1,1,2 в любом порядке. Т.е. любое из чисел 1125,1215, 2115 можно указать в ответе.

Если 6-значное, значит начинается на 1, иначе будет 5-значным. А раз делится на 24, значит должно быть чётным и следовательно кончается на 0. Осталось найти ещё 4 цифры. Причём, 24=8*3, значит число должно делится на 3, а значит в нём 3 единицы, т.к. сумма цифр должна делится на 3 (одну "1" мы нашли, значит осталось ещё 2). По признаку деления на 8 у числа 3 последних цифры должны делиться на 8, а это значит, что они 000. Поэтому искомое число 111000.

Раскодируем с конца. При помощи 000 может кодироваться только буква А, все остальные буквы кончаются не более чем на 2 нуля. В 0110100011А перед буквой А может стоять только Е, т.к. только она кончается на 11. Далее в строке 0110100ЕА опознаём букву С, затем строка 0110СЕА раcкодируется однозначно - BDCEA. Других вариантов нет.

Надо нарисовать двоичное дерево. Код декодируется неоднозначно, если, идя к какой-то букве от корня, мы по пути можем встретить другую букву. Видно ,что подходит только вариант 1)для буквы В – 101, на рисунке эта модификация отмечена стрелкой. Все другие варианты вызывают конфликты с др буквами.
Примечание. Можно было бы и Г передвинуть на 1 уровень вверх, но такого варианта нет в условиях. (прикреплено изображение)