Задача 4545 Найдите все значения а, при каждом из...

slava191

22.10.2015

Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x) = |х-а|-х^2 не меньше 1.

cnlex

23.10.2015

★

Пусть x-a>0, т.е. x>a, тогда f(x)=x-a-х^2. Производная f'(x)=1-2x. f'(x)=0 при x=1/2. f(1/2)=1/2-a-1/4=1/4-a.
f(1/2)>=1 при 1/4-a>=1 -> a<=-3/4. Итак, при a<=-3/4 есть точка x=1/2 (которая удовлетворяет условию x-a>0), что f(x)>=1.
Аналогично рассматриваем симметричный случай, когда x-a<0.
Если x=a, то f(x)=-x^2<=0<1.
Ответ: a принадлежит (-00;-3/4]U[3/4;+00).