Задача 4545 Найдите все значения а, при каждом из...

slava191

22 октября 2015 г.

Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x) = |х–а|–х² не меньше 1.

cnlex

23 октября 2015 г.

★

Пусть x–a>0, т.е. x>a, тогда f(x)=x–a–х². Производная f'(x)=1–2x. f'(x)=0 при x=1/2. f(1/2)=1/2–a–1/4=1/4–a.
f(1/2)>=1 при 1/4–a>=1 –> a<=–3/4. Итак, при a<=–3/4 есть точка x=1/2 (которая удовлетворяет условию x–a>0), что f(x)>=1.
Аналогично рассматриваем симметричный случай, когда x–a<0.
Если x=a, то f(x)=–x²<=0<1.
Ответ: a принадлежит (–00;–3/4]U[3/4;+00).