Задача 2440 решить уравнение а)sin 2x = cos...
Условие
а)sin 2x = cos 2x
б)2sin^2 2x-5sin2x cos2x+2cos^2 2x=0
Все решения
sin2x=2sinxcosx
cos2x=cos^2x-sin^2x
2sinxcosx - cos^2x - sin^2x = 0 | поделим на cos^2x
2tgx - 1 - tg^2x = 0
-tg^2 + 2tgx - 1 = 0
tg^2x - 2tgx + 1 = 0
tgx = t
t^2-2t+1=0
D=0
t=1
tgx=1
x=arctg(1) + Pin
x=Pi/4 + Pin
Имеем t^2=1-t^2 (Осторожно, возможно получатся посторонние корни!)
2(t^2)=1 => t^2=1/2 => t=(+/-)1/sqrt(2).
Делаем обратную замену sin 2x= (+/-)1/sqrt(2). 2x=(+/-)П/4+Пk, k-целое.
x=(+/-)П/8+Пk/2.
Проверим на посторонние корни ,подстановкой в исх.уравнение.
При x=П/8+Пk/2, имеем sin(П/4+Пk)=(по ф-лам приведения)=((-1)^k)sin(П/4)=((-1)^k)/sqrt(2).
cos(П/4+Пk)=(по ф-лам приведения)=((-1)^k)cos(П/4)=((-1)^k)/sqrt(2). Корень подходит.
А при x=-П/8+Пk/2, sin(-П/4+Пk)= )=((-1)^(k+1))/sqrt(2).
cos(-П/4+Пk)=((-1)^k))/sqrt(2). Не совпадает! Значит это посторонний корень.
Ответ: x=П/8+Пk/2, где k – целое.
2sin^2+2cos^2=2(sin^2+cos^2)=2*1=2
Поэтому получим 2-5sin(2x)cos(2x)=0 => sin(2x)cos(2x)=2/5 => 2sin(2x)cos(2x)=4/5 По ф-ле двойного угла: sin 4x=4/5
Решая уравнение получаем: 4х=((-1)^k)arcsin(4/5)+Пк, где k-целое
x=((-1)^k)(1/4)arcsin(4/5)+Пk/4, где k-целое
Если x=π/4 + πn, то 2х=π/2 + 2πn. Поэтому sin(π/2 + 2πn)-cos(π/2 + 2πn)=0.
Слагаемое 2πn в аргументе можно отбросить, т.к. оно не влияет на вычисление синуса или косинуса. Поэтому получаем sin(π/2)=cos(π/2) т.е. 1=0, что неверно.
sin2x=2sinxcosx
cos2x=cos2x–sin2x
2sinxcosx – cos2x – sin2x = 0 | поделим на cos2x
2tgx – 1 – tg2x = 0
–tg2 + 2tgx – 1 = 0
tg2x – 2tgx + 1 = 0
tgx = t
t2–2t+1=0
D=0
t=1
tgx=1
x=arctg(1) + πn
x=π/4 + πn