Задача 4546 Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16...

slava191

22.10.2015

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

cnlex

22.10.2015

★

а)Могут. Например: (1+9)/2=5, (5)/1=5, остальные числа в группе 3. Во всех группах разное количество чисел.
б)Докажем "от противного". Пусть числа разбиты на группы в N,M,K элементов. N+M+K=10. В каждой группе ср.арифметическое равно S, тогда NS+MS+KS=1+2+3+4+5+6+7+8+9+16=61.
Отсюда NS+MS+KS=S(N+M+K)=10S=61, поэтому S=61/10. Но NS=N*61/10 должно быть целым числом, потому что это сумма чисел в группе. Кол-во элементов N от 1 до 8. Но любое N в этих пределах не дает целое N*61/10. Поэтому ответ на б) "не может".