Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 4536 Известно, что a, b, c и d - попарно...

Условие

Известно, что a, b, c и d - попарно различные двухзначные числа.

а) Может ли выполняться равенство (3a+2c)/(b+d) = 12/19

б) Может ли дробь (3a+2c)/(b+d) быть в 11 раз меньше, чем сумма 3a/b + 2c/d

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь (3a+2c)/(b+d), если a>3b и c>2d?

математика 10-11 класс 9211

Решение

а)Имеем 19(3a+2c)=12(b+d) => 57a+38c=12b+12d. Попробуем добиться равенства, приравняв 57a=12b и 38с=12d. Первое выполняется при a=12,b=57. Второе при c=12,d=38. Но поскольку все числа должны быть разные, возьмем с=12*2=24, тогда d=76. Ответ: может, например при a=12,b=57,с=24, d=76.

б)Задача сводится к рассмотрению равенства (3a+2c)/(b+d)=11(3a/b + 2c/d) или 3а/(b+d)+2c/(b+d)=(3a*11)/b+(2c*11)/d. Видно, что для положительных a,b,c,d выполняется 3а/(b+d)< (3a*11)/b, потому что числитель у второй дроби в 11 раз больше , а знаменатель меньше на положительную величину d. Аналогично 2c/(b+d)< (2c*11)/d. Значит (3a+2c)/(b+d)<11(3a/b + 2c/d). Ответ: не может.

в)Чтобы дробь была наименьшей, нужно числитель сделать как можно меньше, поэтому возьмем a=3b+1, c=2d+1. Т.к. величины a и с не должны превышать 99, величины b и d должны быть ограничены так: b<=32, d<=49. Имеем (9b+3+4d+2) /(b+d)= (4b+4d+5b+5)/(b+d)=4(b+d)/(b+d)+5(b+1)/(b+d)=4+5(b+1)/(b+d). Задача свелась к нахождению наименьшего значения дроби (b+1)/(b+d). Чтобы знаменатель был больше, нужно взять наибольшее d. Возьмем d=49. Имеем (b+1)/(b+d)=(b+49-48)/(b+49)=1-48/(b+49). Чтобы эта величина была наименьшей, надо из единицы вычесть наибольшую дробь, т.е. дробь с самым маленьким знаменателем. А для этого надо взять наименьшее b, а это b=10.
Ответ: При b=10,а=31, d=49, c=99 достигается наименьшее возможное значение дроби (3a+2c)/(b+d)=291/59=4,93220....
Примечание:Ранее я ошибочно указывал в качестве ответа: b=11,а=34, d=49, c=99. Благодарю за указание на ошибку.

Вопросы к решению (1)
Ошибки в решение (1)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК