№4912. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7 ?

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7 ?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

№4911. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых множество решений неравенства

1 меньше или равно (a+x^2+2log5(a^2-4a+5))/(30sqrt(17x^4+5x^2)+a+1+log5 ^2(a^2-4a+5)

состоит из одной точки, найдите это решение.

№4910. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

№4909. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое рёбро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит апофему грани ASB в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

№4907. В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?

в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?

№4906. Найдите все значении а, при каждом из которых уравнение
27x^6+(4a-2x)^3+6x^2+8a=4x не имеет корней.

№4905. Решите неравенство x^3+5x^2+(28x^2+5x-30)/(x-6) меньше или равно 5

№4904. Окружность, построенная на стороне AD‍ параллелограмма ABCD‍ как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что ABCD —‍ ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB‍ в точке M,‍ причём AM : MB = 2 : 1.‍ Найдите диагональ AC,‍ если известно AD = sqrt(6)

№4903. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть 10 членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.

№4902. Найдите все а, при каждом из которых уравнение sqrt(a-9cos^4x)=sin^2x имеет решение.

№4901. 15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1,5 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

№4900. Решите неравенство log(1 + x/2)(x+7)*log(0,5x + 1)((x+7)/(x/2 + 1)^3) меньше или равно -2

№4899. Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что АС = ЗMB.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и СС1, если известно, что АС = 30.

№4898. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка М — середина ребра АС, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что плоскость MSF перпендикулярна ребру АС.

б) Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью АВС.

№4897. а) Решите уравнение (36^(cosx))^(sinx) = (1/6)^(sqrt(2)sinx)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-Pi; Pi/2].