№16495. На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли на доске быть ровно 24 четных числа?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

№16494. Каждый из 32 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.

а) Приведите пример, когда S < 14

б) Могло ли значение S быть равным 17?

в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?

№16493. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 330000 рублей, а во второй год - 121000 рублей.

№16492. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на 77200 рублей?

№16491. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга

Найдите r, если известно, что если выплачивать по 777600 рублей , то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года?

№16490. Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая окружность проходит через центр О большей. Диаметр ВС большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке М, отличной от точки А. Лучи АО и АМ вторично пересекают большую окружность в точках Р и Q соответственно. Точка С лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку Р.

а) Докажите что прямые PQ и ВС параллельны

б) Известно, что sin AOC = sqrt(15)/4. Прямые РС и AQ пересекаются в точке К. Найдите отношение QK:KA

№16489. Две окружности с центрами O1 и O1 пересекаются в точках А и В, причем точки О1 и О2 лежат по разные стороны от прямой АВ. Продолжение диаметра СА первой окружности и хорды СВ этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.

б) Найти AD, если углы DAE и BAC равны, радиус второй окружности в четыре раза больше радиус первой и АВ=2.

№16488. Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

№16486. В основании пирамиды PABCD - трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые АВ и CD пересекаются в точке К.

а) Доказать, что плоскость РАВ перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объем PKBC, если AB-BC=CD=3, а высота пирамиды PABCD равна 8.

№16485. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем АВ=3sqrt(2), ВС=6. Высота пирамиды падает в центр прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB

а) Докажите, что точки P - середина BQ
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=9

№16484. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ =CN:NB=3:1. Точки P и Q - середины рёбер DA и DC соответственно

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды

№16483. а) Решите уравнение 2log^2_(2)(2sinx)-7log2(2sinx)+3=0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [Pi/2; 2Pi]

№16482. а) Решите уравнение 25^(sinx)=(1/5)^(-sqrt(2)sin2x)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2Pi; 7Pi/2]

№16481. Найдите точку максимума функции y=ln(x+5)^5-5x

№16480. Найдите значение выражения sqrt(3)-sqrt(12)sin^2(5Pi/12)