№9935. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной Вы­со­та приз­мы равна 6. Най­ди­те угол между пря­мы­ми AC1 и CB1.

№9934. Натуральное число N представляется в виде N = a1-a2 = b1-b2 = c1-c2 = d1-d2, где a1 и a2 - квадраты, b1 и b2 - кубы, c1 и c2 - пятые степени, а d1 и d2 - седьмые степени натуральных числе. Обязательно ли среди чисел a1, b1, c1 и d2 найдутся два разных?

(А. С. Голованов)

№9933. По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

(Н. Власова)

№9932. В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

(А. Кузнецов)

№9931. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

(Н. Агаханов)

№9930. Решить 2cos2x = 4sin(Pi/2+x)

№9929. Есть клетчатая доска 2015 х 2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500 х 1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

(О. Дмитриев, Р. Женодаров)

№9928. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к окружности Ω, описанной около треугольника ABC, пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к окружности Г, описанной около треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

(А. Кузнецов)

№9927. Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz больше или равно xy+yz+zx. Докажите неравенство sqrt(xyz) больше или равно sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z)

(А. Храбров)

№9926. Квадратный трёхчлен f(x) = ax^2 + bx + c, не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена f(x) быть рациональным?

(Г. Жуков)

№9925. Каждая клетка таблицы размером 7 x 8 (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трех цветов: красный, желтый или зеленый. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем желтых и не меньше, чем зеленых, а в каждом столбце желтых клеток не меньше, чем красных и не меньше, чем зеленых. Сколько зеленых клеток может быть в такой таблице?

№9924. Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?

№9923. Решите неравенство sin(x/(x^2)+1) + ((x^2+1)/x)*cos(x/(x^2+1) > 0

№9922. В квадрате ABCD точки E и F — середины сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G. Что больше: площадь треугольника AGF или площадь четырехугольника GECF?

№9921. Существуют ли такие целые числа p и q, что при любых целых значениях x выражение x^2 + px + q кратно 3?