Задача 14756 а) Решите уравнение...

slava191

05.04.2017

а) Решите уравнение 8^x-9*2^(x+1)+2^(5-x)=0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log5 2; log5 20]

а) Перепишем уравнение 8^x – 9·2^(x+1) + 2^(5–x) = 0 в терминах степени 2. Заметим, что 8 = 2³, поэтому:

8^x = (2³)^x = 2^(3x).
Также 2^(x+1) = 2^x · 2, и 2^(5–x) = 2^5 / 2^x = 32 / 2^x.

Тогда уравнение принимает вид:
2^(3x) – 9·2^(x+1) + 2^(5–x) = 0
или, подставляя 2^(5–x) = 32 / 2^x,
2^(3x) – 9·2^(x+1) + 32 / 2^x = 0.

Введём замену y = 2^x. Тогда
• 2^(3x) = (2^x)³ = y³,
• 2^(x+1) = 2·2^x = 2y,
• 32 / 2^x = 32 / y.

Подставляя в уравнение, получаем:
y³ – 9·(2y) + 32 / y = 0,
то есть
y³ – 18y + 32 / y = 0.

Умножим на y, чтобы убрать дробь:
y^4 – 18y^2 + 32 = 0.

Сделаем вторую замену z = y^2. Тогда уравнение принимает вид:
z² – 18z + 32 = 0.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:
D = 18² – 4·1·32 = 324 – 128 = 196,
тогда √D = 14. Корни:
z₁ = (18 + 14) / 2 = 32 / 2 = 16,
z₂ = (18 – 14) / 2 = 4 / 2 = 2.

Возвращаясь к y² = z, получаем:
1) y² = 16 ⇒ y = ±4,
2) y² = 2 ⇒ y = ±√2.

Но y = 2^x > 0, поэтому из каждого уравнения берём только положительные корни:
• y = 4 ⇒ 2^x = 4 ⇒ x = 2,
• y = √2 ⇒ 2^x = √2 ⇒ x = 1/2.

Итак, уравнение имеет два решения: x = 2 и x = 1/2.

б) Нужно определить, какие из этих решений лежат в отрезке [log₅(2), log₅(20)].

Оценим границы:
• log₅(2) — это примерно log(2)/log(5) ≈ 0,43,
• log₅(20) — это log(20)/log(5). Приблизительно log(20) ≈ 2,9957 и log(5) ≈ 1,6094, значит
log₅(20) ≈ 2,9957 / 1,6094 ≈ 1,86.

Таким образом, отрезок приблизительно равен [0,43; 1,86]. Из найденных корней:
• x = 1/2 = 0,5 попадает в [0,43; 1,86],
• x = 2 не попадает, так как 2 > 1,86.

Ответ:
• Все корни: x = 1/2 и x = 2.
• Корень, принадлежащий [log₅(2); log₅(20)], — это x = 1/2.