Задача 61783 ...
Условие
1) 4cos^2x + sinxcosx + 3sin^2x - 3 = 0;
20.6. Найдите значение суммы корней уравнения:
2) 5cos^2x - 5cosx = 1 - 3sin^2x, если x ∈ [270; 450];
Решение
4cos^2x+sinx*cosx+3sin^2x-3=0
1=sin^2x+cos^2x
3=3*(sin^2x+cos^2x)
4cos^2x+sinx*cosx+3sin^2x-3*(sin^2x+cos^2x)=0
[b]4cos^2x[/b]+sinx*cosx+[u]3sin^2x[/u]-[u]3sin^2x[/u]-[b]3cos^2x[/b]=0
cos^2x+sinx*cosx=0
cosx*(cosx+sinx)=0
cosx=0 ИЛИ cosx+sinx=0
cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πn, n ∈[b] Z[/b]
cosx+sinx=0 ⇒ (cosx/cosx)+(sinx/cosx)=0 ⇒ 1+tgx=0
tgx=-1 ⇒ x=-(π/4)+πk, k ∈ [b]Z[/b]
О т в е т. π/2)+πn ; -(π/4)+πk, n, k ∈ [b]Z[/b]
2)
5cos^2x-5cosx=1-3sin^2x
sin^2x+cos^2x=1 ⇒ sin^2x=1-cos^2x
5cos^2x-5cosx=1-3*(1-cos^2x)
5cos^2x-5cosx=1-3+3cos^2x
2cos^2x-5cosx+2=0
Квадратное уравнение относительно cosx
Замена переменной:
[b]cosx=t[/b]
2t^2-5t+2=0 ⇒ D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9
t_(1)=(5-3)/4=1/2; t_(2)=(5+3)/4=2
Обратный переход от t к косинусу
cosx=1/2 ⇒ x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ [b]Z[/b] ⇒ x= ±(π/3)+2πn, n ∈ [b]Z[/b]
cosx=2 уравнение не имеет корней, так как косинус ограничен
-1 ≤ cosx ≤ 1 и не принимает значения равное двум
О т в е т. ±(π/3)+2πn, n ∈ [b]Z[/b]
Отбор корней:
с помощью неравенства
Запишем корни в градусной мере:
±(60 ° )+360 ° n, n ∈ [b]Z[/b]
составим неравенства
270 ° ≤ (60 ° )+360 ° n ≤ 450 ° и 270 ° ≤- (60 ° )+360 ° n ≤ 450 °
Делим на 10
27 ° ≤ (6 ° )+36 ° n ≤ 45 ° и 27 ° ≤- (6 ° )+36 ° n ≤ 45 °
Делим на 3
9 ° ≤ (2 ° )+12 ° n ≤ 15 ° и 9 ° ≤- (2 ° )+12 ° n ≤ 15 °
Вычтем в первом 2 ° и прибавим 2 ° во втором
9 °-2 ° ≤ 12 ° n ≤ 15 ° -2 ° и 9 °+2 ° ≤12 ° n ≤ 15 ° +2 °
7 ° ≤ 12 ° n ≤ 13 ° и 11 ° ≤12 ° n ≤ 17 °
неравенства верны, если n=1
ТОгда
при n=[b]1[/b]
(60 ° )+360 ° n =60 °+360 °*[b]1[/b]=[red][b]420 ° [/b][/red]
(-60 ° )+360 ° n =-60 °+360 °*[b]1[/b]=[red][b]300 ° [/b][/red]
О т в е т. 300 ° и 420 ° - корни, принадлежащие указанному промежутку