Задача 57652 Найти координаты центра и радиус сферы,...

Владимир_289447393

2 февраля 2021 г. в 21:21

Найти координаты центра и радиус сферы, которая проходит через точки А(0;1;–1), B(1;0;1), C(–1;1;0), D(1;–1;1).

exponenta

2 февраля 2021 г. в 22:27

★

Уравнение сферы:

$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$


Подставляем координаты каждой точки в уравнение и получаем

систему четырех уравнений с четырьмя переменными:

$\left\{\begin {matrix}(0-a)^2+(1-b)^2+(-1-c)^2=R^2\\(1-a)^2+(0-b)^2+(1-c)^2=R^2\\(-1-a)^2+(1-b)^2+(0-c)^2=R^2\\(1-a)^2+(-1-b)^2+(1-c)^2=R^2\end {matrix}\right.$

$\left\{\begin {matrix}a^2+(b-1)^2+(с+1)^2=R^2\\(a-1)^2+b^2+(c-1)^2=R^2\\(a+1)^2+(b-1)^2+c^2=R^2\\(a-1)^2+(b+1)^2+(c-1)^2=R^2\end {matrix}\right.$

Из вычитаем из четвертой строки вторую:

$(b+1)^2-b^2=0$ ⇒ $2b+1=0$

$b=-\frac{1}{2}$

Вычитаем из первой строки третью:

$a^2+(b-1)^2+(с+1)^2-(a+1)^2-(b-1)^2-c^2=0$

$(с+1)^2-c^2=(a+1)^2-a^2$

$c=a$

И подставляем в первое и второе:

$\left\{\begin {matrix}a^2+(-\frac{1}{2}-1)^2+(a+1)^2=R^2\\(a-1)^2+(-\frac{1}{2})^2+(a-1)^2=R^2\end {matrix}\right.$


$\left\{\begin {matrix}a^2+(-\frac{3}{2})^2+(a+1)^2=R^2\\2(a-1)^2+\frac{1}{4}=R^2\end {matrix}\right.$


$a^2+(-\frac{3}{2})^2+(a+1)^2=2(a-1)^2+\frac{1}{4}$

$a=-\frac{1}{6}$

$c=-\frac{1}{6}$

$(-\frac{1}{6})^2+(-\frac{1}{2}-1)^2+(-\frac{1}{6}+1)^2=R^2$

$R^2=\frac{107}{36}$

О т в е т.
$(x+\frac{1}{6})^2+(y+\frac{1}{2})^2+(z+\frac{1}{6})^2=\frac{107}{36}$