Задача 57652 Найти координаты центра и радиус сферы,...

6019980ae152317b2a5392fd

02.02.2021 21:21:26

Найти координаты центра и радиус сферы, которая проходит через точки А(0;1;-1), B(1;0;1), C(-1;1;0), D(1;-1;1).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.02.2021 22:27:45

★

Уравнение сферы:

[m](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2[/m]


Подставляем координаты каждой точки в уравнение и получаем

систему четырех уравнений с четырьмя переменными:

[m]\left\{\begin {matrix}(0-a)^2+(1-b)^2+(-1-c)^2=R^2\\(1-a)^2+(0-b)^2+(1-c)^2=R^2\\(-1-a)^2+(1-b)^2+(0-c)^2=R^2\\(1-a)^2+(-1-b)^2+(1-c)^2=R^2\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}a^2+(b-1)^2+(с+1)^2=R^2\\(a-1)^2+b^2+(c-1)^2=R^2\\(a+1)^2+(b-1)^2+c^2=R^2\\(a-1)^2+(b+1)^2+(c-1)^2=R^2\end {matrix}\right.[/m]

Из вычитаем из четвертой строки вторую:

[m](b+1)^2-b^2=0[/m] ⇒ [m]2b+1=0[/m]

[m]b=-\frac{1}{2}[/m]

Вычитаем из первой строки третью:

[m]a^2+(b-1)^2+(с+1)^2-(a+1)^2-(b-1)^2-c^2=0[/m]

[m](с+1)^2-c^2=(a+1)^2-a^2[/m]

[m]c=a[/m]

И подставляем в первое и второе:

[m]\left\{\begin {matrix}a^2+(-\frac{1}{2}-1)^2+(a+1)^2=R^2\\(a-1)^2+(-\frac{1}{2})^2+(a-1)^2=R^2\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}a^2+(-\frac{3}{2})^2+(a+1)^2=R^2\\2(a-1)^2+\frac{1}{4}=R^2\end {matrix}\right.[/m]


[m]a^2+(-\frac{3}{2})^2+(a+1)^2=2(a-1)^2+\frac{1}{4}[/m]

[m]a=-\frac{1}{6}[/m]

[m]c=-\frac{1}{6}[/m]

[m](-\frac{1}{6})^2+(-\frac{1}{2}-1)^2+(-\frac{1}{6}+1)^2=R^2[/m]

[m]R^2=\frac{107}{36}[/m]

О т в е т.
[m](x+\frac{1}{6})^2+(y+\frac{1}{2})^2+(z+\frac{1}{6})^2=\frac{107}{36}[/m]