Задача 55864 решите все подробно дам 40 баллов ...
Условие
Решение
Логарифмируем:
[m]lny=ln(x+1)^{arctg\sqrt{x}}[/m]
По свойству логарифма степени:
[m]lny=arctg\sqrt{x}\cdot ln(x+1)[/m]
Дифференцируем обе части равенства:
[m](lny)`=(arctg\sqrt{x}\cdot ln(x+1))`[/m]
Справа - производная произведения,
слева производная логарифма, переменная y - зависимая переменная и потому
находим производную [m](lny)`[/m] как производную[i] сложной[/i] функции:
[m]\frac{y`}{y}=(arctg\sqrt{x})`\cdot (ln(x+1))+(arctg\sqrt{x})\cdot (ln(x+1))`[/m] ⇒
[m]\frac{y`}{y}=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot (\sqrt{x})`\cdot ln(x+1)+(arctg\sqrt{x})\cdot \frac{1}{x+1}\cdot (x+1)`[/m] ⇒
[m]y`=y\cdot (\frac{ln(x+1)}{(1+x^2)\cdot(2\sqrt{x})}+\frac{arctg\sqrt{x}}{x+1})[/m]
[m]y`=(x+1)^{arctg\sqrt{x}}\cdot (\frac{ln(x+1)}{(1+x^2)\cdot(2\sqrt{x})}+\frac{arctg\sqrt{x}}{x+1})[/m] - это ответ.
2.
[m]\left\{\begin{matrix}
x`_{t}=(t^2-1)`=2t\\ y`_{t}=(t\cdot (t^2-1))`=(t^3-t)`=3t^2-1\end{matrix}\right.[/m]
[m]y`_{x}=\frac{y`_{t}}{x`_{t}}=\frac{3t^2-1}{2t}[/m]
3.
Дифференцируем обе части равенства:
[m]e^{y\cdot (x-1)}\cdot(y\cdot(x-1))`=(x-y)`[/m]
Переменная y - зависимая переменная и потому
находим [m]y`[/m] остается как производная, а производная[m]x`=1[/m]
[m]e^{y\cdot (x-1)}\cdot(y`\cdot(x-1)+y)=1-y`[/m]
Переносим слагаемые с [m]y`[/m] влево:
[m]e^{y\cdot (x-1)}\cdot y`\cdot(x-1)+y`=1-e^{y\cdot (x-1)}\cdot y[/m] ⇒
[m] y`=\frac{1-e^{y\cdot (x-1)}\cdot y}{e^{y\cdot (x-1)}\cdot(x-1)+1}[/m]
4.
Сделайте самостоятельно по образцу:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=55024