Задача 55376 Написать уравнение кривой, проходящей...

Piter

8 ноября 2020 г. в 17:11

Написать уравнение кривой, проходящей через точку (2; –1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом равным 1 / 2y

exponenta

9 ноября 2020 г. в 11:32

★

Уравнение касательной к кривой $y=f(x)$ в точке $(x_{o};f(x_{o}))$ имеет вид:

$y-f(x_{o})=f`_(x_{o})\cdot (x-x_{o})$

По условию касательная проходит через точку (2;–1)

Значит, её координаты удовлетворяют уравнению

Подставляем $x=2; y=-1$

$-1-f(x_{o})=f`_(x_{o})\cdot (2-x_{o})$ (#)

Геометрический смысл производной в точке:

$f`_(x_{o})=k$_{касательной} в точке $(x_{o};f(x_{o}))$


$f`_(x_{o})=\frac{1}{2\cdot f(x_{o})}$


Это дифференциальное уравнение???

Надо ж хотя бы написать тему, в какой дана эта задача???

$y`=\frac{1}{2y}$

$ydy=\frac{1}{2}dx$ ⇒ $∫ ydy=\frac{1}{2} ∫ dx$ ⇒ $\frac{y^2}{2} =\frac{x}{2} +C_{1}$ ⇒

$y^2=x+C$ ⇒ $f^2(x_{o})=x_{o}+C$


Подставляем в уравнение (#) :

$-1-f(x_{o})=\frac{1}{2\cdot f(x_{o})}\cdot (2-x_{o})$ ⇒

$-2f(x_{o})-2f^2(x_{o})=2-x_{o}$

Объединить это все.