№2122. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с ребрами AD = 6, AB = 8, AA1 = 8. Точки M и N – середины ребер A1B1 и C1D1. Точки E и F выбраны на ребрах CC1 и ВВ1 так, что C1E = 3, D1F = 7. Какую наименьшую длину может иметь ломаная APQ, где точка P лежит на прямой MN, а точка Q лежит на прямой EF? В ответ запишите квадрат длины ломаной.

№2121. Пусть f(x)=ax^2 + bx + 2, a<0 и f(10)=0. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство ax^4 + bx^2 + 2 > 0?

№2120. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник (AB^2 = BC^2 = 48, AC^2 = 96). Сфера, проходящая через вершины A, B, C, делит ребра SA и SC пополам и пересекает ребро SB в точке B1. Найдите радиус сферы, если SB1= 5, BB1 = 1. В ответ запишите квадрат радиуса сферы.

№2119. При каком наименьшем значении параметра b существует такое a, что уравнение x^2 + (5sina + 2cosa)x - b = 0 имеет действительное решение?

№2118. У Миши есть пять банок с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из 6 досок, так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски не менее чем трех цветов?

№2117. Известно, что 1/(x-y) + 1/(y-z) + 1/(z-x) = 2,5. Какое наибольшее значение может принимать сумма 1/(x-y)^2 + 1/(y-z)^2 + 1/(z-x)^2 ?

№2116. Даны два числа x < y. Оказалось, что sin(Pix) + cos(Piy) = (3/5)sqrt(2), cos(Pix) - sin(Piy) = (4/5)sqrt(2). Какое наименьшее значение может принимать величина y - x?

№2115. Приведенный квадратный трёхчлен f(x) таков, что каждое из уравнений f(x) = 2x - 7 и f(x) = 21 - 6x имеет ровно по одному решению. При каком наибольшем значении параметра a уравнение f(x)= a, a также будет иметь ровно одно решение?

№2114. В параллелограмме ABCD сторона BC в 6 раз больше стороны AB. Биссектрисы углов DAB и ABC пересекают прямую CD в точках M и N соответственно. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если MN = 22.

№2113. Петя и четыре его одноклассника стартовали одновременно в забеге на 100 метров, и Петя пришёл первым. Через 10 секунд после начала забега никто ещё не финишировал, и все его участники в сумме пробежали 288 метров. А когда Петя закончил бег, остальным трём участникам оставалось пробежать до финиша в сумме 50 метров. Сколько метров пробежал Петя за 10 секунд?

№2112. Какую наименьшую сумму могут иметь семь последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 1234567?

№2111. Деревянный диск в форме круга толкнули от одного берега реки к другому, сообщив ему скорость 0,3 м/с против течения под углом а (sinа = 0,6) к линии берега. Через 90 секунд диск достиг другого берега, сместившись вдоль берега вниз по течению на расстояние 4 м (считая от точки на другом берегу, расположенной напротив точки старта). Ширина реки 4 м. Найдите скорость течения реки, считая её одинаковой по всей ширине реки.

№2110. В вершинах квадрата на одной диагонали находятся первоначально неподвижные два электрона, а на другой диагонали – два отрицательно заряженных однозарядных иона некоторого химического элемента. Частицы одновременно отпускают. После разлёта всех частиц на бесконечно большое расстояние друг от друга отношение скоростей электронов и ионов оказалось равным 278. Найдите массовое число (общее число протонов и нейтронов) для ядра иона. Отношение масс протона (нейтрона) и электрона принять равным 1840.

№2109. Цикл тепловой машины состоит из двух изобар и двух адиабат. Рабочее вещество – идеальный одноатомный газ. Работа, совершённая над газом при изобарическом сжатии на 20% меньше работы газа при изобарическом расширении. Найдите КПД тепловой машины.

№2108. В заряженный до напряжения 15 В и отключённый от источника плоский конденсатор вставляют пластину из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью равной 4 так, что объём диэлектрика в конденсаторе в 6 раз меньше объёма конденсатора. Толщина пластины равна расстоянию между обкладками конденсатора. Найдите новое напряжение на конденсаторе.