Задача 77094 Задача 11. В правильной четырехугольной...

66296c311579f81bc9bce378

24 апреля 2024 г. в 08:39

Задача 11. В правильной четырехугольной призме ABCDA1 B1C1D1 со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ=2. На ребре ВВ1 взята точка К так, что
В1К=2. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки D1, M, К и плоскостью СС1D1, расстояние от точки В1 до плоскости D1MK.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28 апреля 2024 г. в 11:45

★

Вводим прямоугольную систему координат с центром в точке А
А(0;0;0)
ось Ох – по отрезку ФВ
ось Оу – по отрезку АВ
ось Оz – по отрезку АА₁

А(0;0;0) ; M (2;0;0)
D(4;0;0) ; D₁(4;0;7)
B(0;4;0); K(0;4;5)

Составим уравнение плоскости АКD₁ в виде

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек
M (0;0;2)

a·0+b·0+c·2+d=0 ⇒ с=– (d/2)

D₁(4;0;7)
a·4+b·0+c·7+d=0 ⇒ a·4+7·(–d/2)+d=0 ⇒ a=5d/8

K(0;4;5)
a·0+b·4+c·5+d=0 ⇒ 4b+5·(–d/2)+d=0⇒ b=3d/8


Уравнение плоскости принимает вид:

(5d/8)·x+(3d/8)·y+(–d/2)·z+d=0

Делим на d

(5/8)x+(3/8)y–(1/2)z+1=0

или

5x+3y–4z+8=0

n_MKD1=(5;3;–4)

n_CDD1=i=(1;0;0)


Угол между плоскостями найдем как угол между нормальными векторами

cos φ =(5·1+3·0+(–4)·0)/√5²+3²+(–4)²=5/√50=1/√2

⇒ φ =π/4

б)
Расстояние от точки B₁(0;4;7)до плоскости по формуле:

d=(|5·0+3·4+(–4)·7+8)/sqrt((5²+3²+(–4)²)=8/√50=8/(5·√2)=4√2/5