Задача 75195 Заданы прямые и и точка М. Найти: 1)...
Условие
Найти:
1) угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекающий эта прямая на оси ординат;
2) уравнение прямых и в отрезках;
3) точку N пересечения прямых и ;
4) уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно прямой ;
5) уравнение прямой , проходящей через точку М перпендикулярно прямой
6) расстояние от точки М до прямой : r().
Все результаты иллюстрировать графически.
l1: х - 5у + 9 = 0, l2: 3х + 2у + 10 = 0; М(7, 3).
Решение
х – 5у + 9 = 0, ⇒ 5y=x+9 ⇒[b] y=(1/5)x+(9/5)[/b]
угловой коэффициент прямой
k_(1)=(1/5)
отрезок, отсекающий эта прямая на оси ординат
b_(1)=(9/5)
3х + 2у + 10 = 0 ⇒ 2y=-3x-10 ⇒ [b]y=(-3/2)x-5[/b]
угловой коэффициент прямой
k_(2)=(-3/2)
отрезок, отсекающий эта прямая на оси ординат
b_(2)=|-5|=5
2) уравнение прямых в отрезках;
х – 5у + 9 = 0, ⇒ x-5y=-9 Делим на (-9)
[b](-1/5)x+(5/9)=1[/b]
3х + 2у + 10 = 0 ⇒ 3х+2у=-10 Делим на (-10)
[b](-3/10)x+(-2/10)у=1[/b]
3) точку N пересечения прямых
Решаем систему уравнений:
{х – 5у + 9 = 0
{3х + 2у + 10 = 0
Умножаем первое уравнение на (-3)
{-3х +15у -27 = 0
{3х + 2у + 10 = 0
Складываем уравнения
17у-17=0
y=1
Подставляем y=1 в первое уравнение:
х – 5*1 + 9 = 0 ⇒ х=-4
N(-4;1)
4) уравнение прямой , проходящей через точку М(7, 3). параллельно первой прямой
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты:
[b] y=(1/5)x+(9/5)[/b] ⇒ y=(1/5)x+m_(1)
Чтобы найти m_(1) подставляем координаты точки М:
3=(1/5)*7+m_(1) ⇒ m_(1)=8/5
y=(1/5)x+8/5 ⇒ [red]х-5у+8=0[/red]
уравнение прямой , проходящей через точку М(7, 3). параллельно второй прямой
y=(-3/2)x + m_(2)
подставляем координаты точки М:
3=(-3/2)*7+m_(2) ⇒ m_(2)=27/2
y=(-3/2)x +27/2 ⇒ [red]3x+2y-27=0[/red]
5)
уравнение прямой , проходящей через точку М(7, 3). перпендикулярно первой прямой
Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1)
k_(1)*k=-1
(1/5)*k=-1
k=-5
y=-5x+m
подставляем координаты точки М:
3=-5*7+m
m=38
y=-5x+38 -уравнение прямой , проходящей через точку М(7, 3). перпендикулярно первой прямой
Аналогично для второй прямой
k_(2)*k=-1
k=2/3
y=(2/3)x+m
подставляем координаты точки М:
3=(2/3)*7+m
m=-5/3
y=(2/3)x-(5/3)
2x-3y-5=0 -уравнение прямой , проходящей через точку М(7, 3). перпендикулярно второй прямой
6) расстояние от точки М(7, 3). до прямой :
.х – 5у + 9 = 0,
[m]d_(1)=\frac{|7-5\cdot 3+9|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}[/m]
[m]d_(1)=\frac{1}{\sqrt{26}}[/m]
расстояние от точки М(7, 3). до прямой :
m]d_(2)=\frac{|3\cdot 7+2\cdot 3+10|}{\sqrt{3^2+2^2}}[/m]
[m]d_(1)=\frac{37}{\sqrt{13}}[/m]
