Задача 74556 Найти объём тетраэдра A с вершинами...

656e4a8f0d797a6d556c6117

12/4/2023 10:14:09 PM

Найти объём тетраэдра A с вершинами A1(1,1,0), A2(4,1,2), A3(0,0,2), A4(3,0,5) и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12/5/2023 7:26:15 AM

★

vector{A_(1)A_(2)}=(4-1;1-1;2-0)=(3;0;2)
vector{A_(1)A_(3)}=(0-1;0-1;2-0)=(-1;-1;2)
vector{A_(1)A_(4)}=(3-1;0-1;5-0)=(2;-1;5)

[m]V_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}=\frac{1}{6}|(\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}},\vec{A_{1}A_{4}})|[/m]

Смешанное произведение трех векторов - определитель третьего порядка, составленного из координат этих векторов.

[m](\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}},\vec{A_{1}A_{4}})=\begin {vmatrix} 3&0&2\\-1&-1&2\\2&-1&5\end {vmatrix}=-3[/m]

[m]|(\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}},\vec{A_{1}A_{4}})|=|-3|=3[/m]

[m]V_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}=\frac{1}{6}|-3|=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/m]


[m]V_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}=\frac{1}{3}\cdot S_{A_{1}A_{2}A_{3}}\cdot H[/m]

[m]H=\frac{3V_{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}}{S_{A_{1}A_{2}A_{3}}}[/m]


[m]S_{A_{1}A_{2}A_{3}}=\frac{1}{2}|[\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}}]|[/m]

Векторное произведение двух векторов - вектор:


[m][\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}}]=\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&0&2\\-1&-1&2\end {vmatrix}= 2\vec{i}-8\vec{j}-3\vec{k}[/m]

[m]|[\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}}]|=\sqrt{2^2+(-8)^2+(-3)^2}=\sqrt{77}[/m]

[m]S_{A_{1}A_{2}A_{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{77}[/m]

[m]H=\frac{3\cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{77}}[/m]


[m]H=\frac{3}{\sqrt{77}}[/m]