Задача 74428 Найти точку В, симметричную точке...

6567ca11c78099272c83a80d

11/29/2023 11:38:12 PM

Найти точку В, симметричную точке А(-2,4) относительно прямой, проходящей через точки М(1,5) и Р(2,2).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11/30/2023 5:40:55 AM

★

Геометрически:

1)Проводим прямую МР

2)Проводим прямую через точку А перпендикулярно прямой МР.

3)Находим точку К - точку пересечения перпендикуляра и прямой

4) Точка К - середина АВ

АК=КВ



Переводим на язык алгебры

1)
Составляем уравнение прямой МР, проходящей через две точки:

y=kx+b- уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подставляем в это уравнение координаты точки М:

M(1;5)

5=k*1+b
Подставляем в это уравнение координаты точки Р:

P(2;2)

2=2k+b

Решаем систему уравнений:

{5=k*1+b
{2=2k+b

3=-k
b=8

y=-3x+ 8 -уравнение прямой МР

2)Провести прямую через точку А перпендикулярно прямой МР,
значит написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ и проходящей через точку Р

k_(MP)=-3

k(AB)*k_(MP)=-1

k_(AB)=1/3

y=(1/3)x+b

A(-2;4)

4=(1/3)*(-2)+b

b=4 целых (2/3)

b=14/3

y=(1/3)x+ (14/3) - уравнение прямой, перпендикулярной МР и проходящей через точку А

3)
Найти точку К - точку пересечения прямой МР и перпендикулярной ей прямой, значит
решить систему

{ y=-3x+ 8
{y=(1/3)x+ (14/3)

Приравниваем правые части
-3x+ 8 =(1/3)x+ (14/3)
Умножаем на 3:
-9х+24=х+14

-9х-х=14-24
-10х=-10
х=1

у=-3*1+8

y=5

K(1; 5)=M(1;5)

4)

M- середина отрезка AB

x_(M)=(1/2)*(x_(A)+x_(B)) ⇒ x_(A)=2x_(M)-x_(A)=2*(1)-(-2)=[b]4[/b]

y_(M)=(1/2)*(y_(P)+y_(B)) ⇒y_(B)=2y_(M)-y_(A)=2*(5)-4=[b]6[/b]

О т в е т. В(4;6)