Задача 74316 Найти точку симметричную точке P(1;7)...

6560c54ee3570748678aeca9

24 ноября 2023 г. в 03:47

Найти точку симметричную точке P(1;7) относительно прямой AB:3х–у+14=0

exponenta

24 ноября 2023 г. в 03:51

★

Геометрически:

Провести прямую через точку Р перпендикулярно прямой АВ.

Найти точку М – точку пересечения перпендикуляра и прямой

РM=MP₁

М– середина отрезка РР₁


Переводим на язык алгебры

Провести прямую через точку Р перпендикулярно прямой АВ,
значит написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ и проходящей через точку Р

AB: 3x–y+14=0 ⇒

y=3x+14

k_AB=3

k(AB)·k_PP1=–1

k_PP1=–1/3

y=(–1/3)x+b

P(1;7)

7=(–1/3)·2+b

b=7 целых (2/3)

b=23/3

y=(–1/3)x+ (23/3)


3y=–x+23

x+3y–23=0 – уравнение PP₁

Найти точку М – точку пересечения перпендикуляра и прямой, значит
решить систему

{ 3x–y+14=0
{x+3y–23=0

Умножаем первое уравнение на 3:
{9x–3y+42=0
{x+3y–23=0

Складываем:

10х+19=0

х=–1,9

y=3·(–1,9)+14

y=8,3

M(–1,9; 8,3)


М– середина отрезка РР₁

x_M=(1/2)·(x_P+x_P1) ⇒ x_P1=2x_M–x_P=2·(–1,9)–1=–4,8

y_M=(1/2)·(y_P+y_P1) ⇒y_P1=2y_M–y_P=2·(8,3)–7=9,6