Задача 72045 ...

64895437e3ffea61e0e0badf

14.06.2023 08:47:15

Через начало координат провести прямую, отстоящую от точки (2, −3) на расстоянии 9/
√
17

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.06.2023 10:32:54

★

(x-2)^2+(y+3)^2=81/17 - множество точек, находящихся на расстоянии (9/sqrt(17)) от точки (2;-3)


Дифференцируем уравнение окружности:

2(x-2)+2(y+3)*y`=0

y`=-(x-2)/(y+3)

y`(x_(o))=-(x_(o)-2)/(y_(o)+3)


Уравнение касательной:

y-y_(o)=-(x_(o)-2)/(y_(o)+3)*(x-x_(o))


Касательная проходит через начало координат

x=0; y=0

-y_(o)=-(x_(o)-2)/(y_(o)+3)*(-x_(o))

⇒
y^2_(o)-x^2_(o)+3y_(o)+2x_(o)=0
(x_(o)-2)^2+(y_(o)+3)^2=81/17

x_(o)=
y_(o)=



Для простоты решения перенесем центр окружности в начало координат, тогда
точка (0;0) переместится в точку (-2;3)

x^2+y^2=81/17

y^2=(81/17)-x^2

y=sqrt((81/17)-x^2)


y`=-2x/2sqrt((81/17)-x^2)


y`(x_(o))=-x_(o)/sqrt((81/17)-x^2_(o))


Уравнение касательной:

y-y_(o)=y`_(x_(o))*(x-x_(o))


[m]y-\sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}=-\frac{x_{o}}{\sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}}\cdot (x-x_{o})[/m]


Касательная проходит через точку (-2;3)

Подставляем ее координаты в уравнение касательной:


[m]3-\sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}=-\frac{x_{o}}{\sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}}\cdot (-2-x_{o})[/m]

[m]3\cdot \sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}-(\frac{81}{17}-x^2_{o})=x_{o}\cdot (2+x_{o})[/m]

[m]3\cdot \sqrt{\frac{81}{17}}=2x_{o}+\frac{81}{17}[/m]

Возводим в квадрат:

[m]\frac{729}{17}=4x^2_{o}+\frac{324}{17}x_{o}+\frac{6561}{289}[/m]


Решаем уравнение и находим х_(о)