Задача 72045 ...

64895437e3ffea61e0e0badf

14 июня 2023 г. в 08:47

Через начало координат провести прямую, отстоящую от точки (2, −3) на расстоянии 9/
√
17

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14 июня 2023 г. в 10:32

★

(x–2)²+(y+3)²=81/17 – множество точек, находящихся на расстоянии (9/√17) от точки (2;–3)


Дифференцируем уравнение окружности:

2(x–2)+2(y+3)·y`=0

y`=–(x–2)/(y+3)

y`(x_o)=–(x_o–2)/(y_o+3)


Уравнение касательной:

y–y_o=–(x_o–2)/(y_o+3)·(x–x_o)


Касательная проходит через начало координат

x=0; y=0

–y_o=–(x_o–2)/(y_o+3)·(–x_o)

⇒
y²_o–x²_o+3y_o+2x_o=0
(x_o–2)²+(y_o+3)²=81/17

x_o=
y_o=



Для простоты решения перенесем центр окружности в начало координат, тогда
точка (0;0) переместится в точку (–2;3)

x²+y²=81/17

y²=(81/17)–x²

y=√(81/17)–x²


y`=–2x/2√(81/17)–x²


y`(x_o)=–x_o/√(81/17)–x²_o


Уравнение касательной:

y–y_o=y`_xo·(x–x_o)


[m]y-\sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}=-\frac{x_{o}}{\sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}}\cdot (x-x_{o})[/m]


Касательная проходит через точку (–2;3)

Подставляем ее координаты в уравнение касательной:


[m]3-\sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}=-\frac{x_{o}}{\sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}}\cdot (-2-x_{o})[/m]

[m]3\cdot \sqrt{\frac{81}{17}-x^2_{o}}-(\frac{81}{17}-x^2_{o})=x_{o}\cdot (2+x_{o})[/m]

[m]3\cdot \sqrt{\frac{81}{17}}=2x_{o}+\frac{81}{17}[/m]

Возводим в квадрат:

[m]\frac{729}{17}=4x^2_{o}+\frac{324}{17}x_{o}+\frac{6561}{289}[/m]


Решаем уравнение и находим х_о