Задача 69751 1-4cos^2x=2sinxcosx...
Условие
Решение
[m]1–4cos^2x=2sinxcosx[/m]
[m]1=cos^2x+sin^2x[/m]
[m]cos^2x+sin^2x–4cos^2x=2sinxcosx[/m]
[m]sin^2x-3cos^2x-2sinxcosx=0[/m] - однородное тригонометрическое уравнение второй степени
[m]tg^2x-2tgx-3=0[/m]
D=(-2)^2-4*(-3)=4+12=16
[m]tgx=3[/m] или [m]tgx=-1[/m]
[m]x=arctg3+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b] или [m]x= -\frac{π}{4}+πm, m ∈ [/m][b]Z[/b]
О т в е т. [m]arctg3+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b] ; [m] -\frac{π}{4}+πm, m ∈ [/m][b]Z[/b]
2 способ
[m]1–4cos^2x=2sinxcosx[/m]
[m]1–4\frac{1+cos2x}{2}=sin2x[/m]
[m]1-2-2cos2x=sin2x[/m]
⇒[m] sin2x+2cos2x=-1[/m]
Применяем метод введения вспомогательного угла( см. скрин)
Делим уравнение на [m]\sqrt{5}[/m]:
[m]\frac{1}{\sqrt{5}}sin2x+\frac{2}{\sqrt{5}}cos2x=-\frac{1}{\sqrt{5}}[/m]
Пусть
[m]\frac{1}{\sqrt{5}}=sin φ [/m]
[m]\frac{2}{\sqrt{5}}=cos φ [/m] ⇒ [m]φ =arccos\frac{2}{\sqrt{5}}[/m]
[m]sin φ sin2x+cos φ cos2x=-\frac{1}{\sqrt{5}}[/m] ⇒[m]cos(2x- φ )=-\frac{1}{\sqrt{5}}[/m]- простейшее уравнение
[m]2x- φ = ± arccos(-\frac{1}{\sqrt{5}})+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] ⇒
[m]2x= ± (π-arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})+ φ +2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] ⇒
[m]2x= ± (π-arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})+arccos\frac{2}{\sqrt{5}} +2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
[m]2x= (π-arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})+arccos\frac{2}{\sqrt{5}} +2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] или [m]2x= - (π-arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})+arccos\frac{2}{\sqrt{5}} +2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
[m]2x= π +arccos\frac{2}{\sqrt{5}}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] или [m]2x= - π+3arccos\frac{2}{\sqrt{5}} +2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
[m]x= \frac{π}{2}+\frac{1}{2}arccos\frac{2}{\sqrt{5}} +πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] или [m]x= -\frac{ π}{2}+\frac{3}{2}arccos\frac{1}{\sqrt{5}} +πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
О т в е т.
[m] \frac{π}{2}+\frac{1}{2}arccos\frac{2}{\sqrt{5}} +πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] ; [m] -\frac{ π}{2}+\frac{3}{2}arccos\frac{1}{\sqrt{5}} +πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
Самое печальное, что ответы получаются внешне разные... И если есть задание отбора корней, то ответы кажутся вообще разными
Школьники не должны уметь приводить один ответ к другому.
А вот проверяющие, должны ...
Поэтому если какое-то решение оценено в 0 баллов, то это неверно и можно смело подавать апелляцию