Задача 69553 Прямая I задана в пространстве общими...

63f88a1cb9d79c403b9291e6

24 февраля 2023 г. в 13:02

Прямая I задана в пространстве общими уравнениями. Написать её канонической параметрической уравнение составить уравнение прямой проходящей через точку М параллельно прямой и вычислить расстояние между ними найти проект в точке М на прямую и точку пересечения прямой и плоскости

exponenta

24 февраля 2023 г. в 14:22

★

1)
Прямая [m]l[/m] задана как линия пересечения плоскостей:

{x–5y+2z+7=0
{5x+y+5z+3=0

x–5y+2z+7=0– общее уравнение плоскости с нормальным вектором n₁=(1;–5;2)
5x+y+5z+3=0 – общее уравнение плоскости с нормальным вектором n₂=(5;1;5)

Направляющий вектор прямой [m]l[/m]
q=n₁ × n₂

Находим векторное произведение векторов. заданных координатами:

q=n₁ × n₂=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-5&2\\5&1&5\end {vmatrix}=-25\vec{i}+10\vec{j}+\vec{k}+25\vec{k}-2\vec{i}-5\vec{j}=-27\vec{i}+5\vec{j}+26\vec{k}[/m]

q=(–27;5;26) – направляющий вектор прямой [m]l[/m]

Осталось найти точку, принадлежащую прямой [m]l[/m]

Так как прямая [m]l[/m] – линия пересечения плоскостей:

{x–5y+2z+7=0
{5x+y+5z+3=0
точек на ней – много.

Пусть третья координата точки z=0

тогда из системы
{x–5y+7=0
{5x+y+3=0
находим две другие координаты
{x–5(–5x–3)+7=0 ⇒ 26x=–22; x=–11/13
{y=–5x–3

y=16/13

Каноническое уравнение прямой[m]l[/m] с направляющим вектором q=(–27;5;26) и проходящей через точку (–11/13;16/13;0)

[m]\frac{x-(-\frac{11}{13})}{-27}=\frac{y-\frac{16}{13}}{5}=\frac{z-0}{26}[/m]

[m]\frac{x+\frac{11}{13}}{-27}=\frac{y-\frac{16}{13}}{5}=\frac{z}{26}[/m]

Запишем это уравнение как параметрическое

[m]\frac{x+\frac{11}{13}}{-27}=\frac{y-\frac{16}{13}}{5}=\frac{z}{26}[/m]=t

[m]\frac{x+\frac{11}{13}}{-27}[/m]=t ⇒ [m]x=-27t-\frac{11}{13}[/m]

[m]\frac{y-\frac{16}{13}}{5}[/m]=t ⇒ [m]y=5t+\frac{16}{13}[/m]

[m]\frac{z}{26}[/m]=t ⇒ [m]z=26t[/m]


2)
Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы

Каноническое уравнение прямой [m]l_{1}[/m]с направляющим вектором q=(–27;5;26)и проходящей через точку (–1;2–3)

[m]\frac{x-(-1)}{-27}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-(-3)}{26}[/m]

[m]\frac{x+1}{-27}=\frac{y-2}{5}=\frac{z+3}{26}[/m]

3)
Чтобы найти проекцию точки M на прямую [m]l[/m] :
надо составить уравнение прямой перпендикулярной прямой [m]l[/m] и проходящей через точку M

Затем найти точку пересечения этих прямых.

Эта точка и будет проекцией точки М на прямую [m]l[/m]

4)
Находим координаты точки пересечения прямой [m]l[/m] и плоскости P

Решаем систему трех уравнений:
{x–5y+2z+7=0
{5x+y+5z+3=0
{4x+y+3z+1=0
(2/5; 1;–6/5)– координаты точки

Или

подставляем параметрическое уравнение прямой [m]l[/m] в уравнение плоскости Р:

[m]x=-27t-\frac{11}{13}[/m]

[m]y=5t+\frac{16}{13}[/m]

[m]z=26t[/m]


[m]4\cdot (-27t-\frac{11}{13})+(5t+\frac{16}{13})+3\cdot 26t+1=0[/m] ⇒ –25t=15/13

t=–3/65

Находим координаты точки:

[m]x=-27\cdot (-\frac{3}{65})-\frac{11}{13}=\frac{2}{5}[/m]

[m]y=5\cdot (-\frac{3}{65})+\frac{16}{13}=1[/m]

[m]z=26\cdot (-\frac{3}{65})=-\frac{6}{5}[/m]

тот же ответ:
(2/5; 1;–6/5)