Задача 68142 Даны две вершины А(2;–2) и В(3;–1) и...

Аея_267800146

8 января 2023 г. в 17:43

Даны две вершины А(2;–2) и В(3;–1) и точка Р(1;0) пересечения медиан
треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной
через третью вершину С. Сделать чертеж.

exponenta

8 января 2023 г. в 23:26

★

Найдем координаты точки М– середины АВ

x_M=(x_A+x_В)/2=(2+3)/2=2,5

y_M=(y_A+y_В)/2=(–2+(–1))/2=–1,5


Составляем уравнение прямой РМ – медианы из точки С

$\frac{x-1}{2,5-1}=\frac{y-0}{-1,5-0}$ ⇒ y=1–x


Находим координату точки С по формуле деления отрезка в данном отношении

CP:PM=2:1

x_P=(x_C+2·x_M)/1+2) ⇒ x_C=3x_P–2x_M=3–5=–2

y_P=(y_C+2·y_M)/(1+2)= ⇒ y_C=3y_P–2y_M=3



Составляем уравнение высоты как прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С


Составим уравнение прямой АВ:

$\frac{x-2}{3-2}=\frac{y+2}{-1+2}$ ⇒ y=x–4

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (–1)

Перпендикулярная прямая имеет угловой коэффициент k=–1

y=–x+b

Чтобы найти b подставим координаты точки С

3=–(–2)+b

b=1


y=–x+1 – уравнение высоты

Это уравнение совпадает с уравнением медианы из точки С