Задача 67646 Решите уравнение:...

Zok

18 декабря 2022 г. в 04:35

Решите уравнение: (4cos²x–1)√tgx=0.Найдите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу(0;2п)

exponenta

18 декабря 2022 г. в 09:15

★

ОДЗ: tgx ≥ 0 ⇒ 0+πk ≤ x<(π/2)+πk, k ∈ Z


$4cos^2x-1=0$ или $\sqrt{tgx}=0$


Решаем первое уравнение

$4cos^2x-1=0$ ⇒ $cos^2x=\frac{1}{4}$ ⇒ $cosx= ± \frac{1}{2}$

⇒
$cosx= \frac{1}{2}$ ⇒ $x= ± \frac{π}{3}+2πn, n ∈$ Z

или

$cosx=- \frac{1}{2}$ ⇒ $x= ± \frac{2π}{3}+2πm, m ∈$ Z

Так как

$x= - \frac{π}{3}+2πn, n ∈$ Z и $x= \frac{2π}{3}+2πm, m ∈$ Z

не принадлежат ОДЗ, то корни первого уравнения:

$x= \frac{π}{3}+2πn, n ∈$ Z или $x= - \frac{2π}{3}+2πm, m ∈$ Z


Решаем второе уравнение:

$\sqrt{tgx}=0$ ⇒$tgx=0$ ⇒ $x=πk, k∈$ Z

О т в е т.
a)$\frac{π}{3}+2πn, n ∈$ Z ;$- \frac{2π}{3}+2πm, m ∈$ Z ;$πk, k∈$ Z


б)

Интервалу (0;2π) принадлежат корни
$\frac{π}{3}$ ;$- \frac{2π}{3}+2π=\frac{4π}{3}$ ;$π$