Задача 67371 5) Найти наибольший отрицательный корень...
Условие
sin^2x+cosx+1=0.
7) Найти все решения уравнения 2cos^2x = sinx, удовлетворяющие неравенству Pi/2 < x < Pi
9) Найти решения уравнения tg(2x-Pi/8) = sqrt(3) на промежутке (-3Pi; -5Pi/2)
10) Сколько корней имеет уравнение 2tgx+3ctgx=5 на промежутке [0°;360°]?
Решение
Так как
sin2x=1–cos2x
Уравнение:
1–cos2x+cosx+1=0
cos2x–cosx–2=0 – квадратное уравнение
Замена переменной
cosx=t
t2–t–2=0
D=9
t1=–1; t2=2
Обратный переход:
cosx=–1 или cosx=2
cosx=–1 ⇒ x=π+2πn, n ∈ Z
cosx=2– не имеет корней, так как 2>1
Наибольший отрицательный
х=π–2π=–π
7.
Так как
cos2x=1–sin2x
Уравнение:
2·(1–sin2x)=sinx
2sin2x+sinx–2=0 – квадратное уравнение
Замена переменной
sinx=t
2t2+t–2=0
D=1–4·2·(–2)=17
t1=(–1–√17)/4 или t1=(–1+√17/4)
Обратный переход:
sinx=(–1–√17)/4 – не имеет корней, так как (–1–√17)/4 < –1
sinx=(–1+√17/4)
x=(–1)karcsin(–1+√17/4)+πk, k ∈ Z
При k=1
x=π–arcsin(–1+√17/4)
удовлетворяет неравенству, указанному в условии
Но такого ответа нет среди предложенных
Значит в условии задачи опечатка...
9.
2x–(π/8)=arctg √3+πn, n ∈ Z
2x–(π/8)=(π/3)+πn, n ∈ Z
2x=(π/3)+(π/8)+πn, n ∈ Z
2x=(11π/24)+πn, n ∈ Z
x=(11π/48)+(π/2)n, n ∈ Z
Отбор корней с помощью неравенства:
–3π ≤ (11π/48)+(π/2)n ≤ –5π/2
Делим на π
–3≤ (11/48)+(1/2)n ≤ –5/2
–3–(11/48)≤ (11/48)–(11/48)+(1/2)n ≤ –5/2–(11/48)
–3–(11/48)≤(1/2)n ≤ –5/2–(11/48)
Умножаем на 2
–6–(11/24)≤n ≤ –5–(11/24)
n=–6
x=(11π/48)+(π/2)·(–6)=(11π/48)-3π=(11π-144π)/48=-133π/48=-2 целых([b]3[/b]7π/48)
Здесь тоже опечатка в ответе....
10.
ctgx=1/tgx
2tg^2x-5tgx+3=0
D=25-4*2*3=1
tgx=1 ИЛи tgx=3/2
Первое уравнение имеет дву корня и второе уравнение имеет два корня на [0 ° ;360 ° ]
О т в е т. 4 корня
