Задача 67315 уравнение плоскости проходящей через...

myrtol

3 декабря 2022 г. в 17:42

уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярна к плоскости

exponenta

4 декабря 2022 г. в 09:21

★

Прямая [m]l[/m] задана как линия пересечения плоскостей:

{3x+8y–4z=5
{x–8y+3z=5

3x+8y–4z=5 – общее уравнение плоскости с нормальным вектором n₁=(3;8;–4)
x–8y+3z=5 – общее уравнение плоскости с нормальным вектором n₂=(1;–8;3)

Направляющий вектор прямой [m]l[/m]
q=n₁ × n₂

Находим векторное произведение векторов. заданных координатами:

q=n₁ × n₂=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&8&-4\\1&-8&3\end {vmatrix}=24\vec{i}-4\vec{j}-24\vec{k}-8\vec{k}+32\vec{i}-9\vec{j}=56\vec{i}-13\vec{j}-32\vec{k}[/m]

q=(56;–13;–32)

Искомая плоскость проходит через прямую, значит вектор q принадлежит искомой плоскости

x+5y–z=1 – общее уравнение плоскости с нормальным вектором n=(1;5;–1)

Искомая плоскость перпендикулярна плоскости, значит n параллелен плоскости.


Осталось найти точку, принадлежащую прямой [m]l[/m]

Так как прямая [m]l[/m] – линия пересечения плоскостей:

{3x+8y–4z=5
{x–8y+3z=5

то точек на ней – много.

Пусть у точки z=0

тогда из системы
{3x+8y=5
{x–8y=5
находим две другие координаты
{3x+x–5=5 ⇒ 4x=10; x=2,5
{x–5=8y

y=–25/80=–5/16

А(–2,5; –5/16; 0)

Пусть М (x;y;z) – произвольная точка искомой плоскости

Тогда векторы
AM=(х+2,5; y+(5/16); z–0)
q=(56;–13;–32)
n=(1;5;–1)

КОМПЛАНАРНЫ

Условие компланарности трех векторов – равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов
[m]\begin {vmatrix} x+2,5&y+\frac{5}{16}&z\\56&-13&-32\\1&5&-1\end {vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по правилу треугольника и получаем ответ