Задача 67312 a) Решить -cos^2 x/2+sin^2 x/2=cos...
Условие
Решение
[r][m]cos2 α =cos^2 α -sin^2 α [/m][/r]
значит
[m]cos^2 \frac{x}{2} -sin^2\frac{x}{2}=cosx [/m]
[m]-cos^2 \frac{x}{2} +sin^2\frac{x}{2}=- cosx [/m]
По формулам приведения
[r][m]cos (-7π+2x)=cos(7π-2x)=-cos2x [/m][/r]
Уравнение можно записать в виде:
[m]-cosx=-cos2x [/m]
Формула:
[r][m]cos2 α =cos^2 α -sin^2 α=cos^2 α -(1-cos^2 α)=2cos^2 α-1 [/m][/r]
[m]-cosx=-(cos^2x-1) [/m] - квадратное уравнение относительно [m]cosx[/m]
[m]cos^2x-cosx-1=0[/m]
D=1+4=5
[m]cosx=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m] ИЛИ [m]cosx=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]
[m]= ± arccos(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] ИЛИ второе уравнение не имеет корней, так как [m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}>1[/m]
О т в е т. [m]= ± arccos(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
б)
Отбор корней с помощью неравенства:
[m] -7π≤ ± arccos(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+2πn ≤ -4π ∈ [/m][b]Z[/b]
Делим на π
[m] -7≤ ± arccos(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+2n ≤ -4 ∈ [/m][b]Z[/b]
1)
[m] -7≤ arccos(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+2n ≤ -4 ∈ [/m][b]Z[/b]
⇒
верно при n=
2)[m] -7≤ - arccos(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+2n ≤ -4 ∈ [/m][b]Z[/b]
⇒
верно при n=
О т в е т