Задача 67103 Составить уравнения касательной и...

63344777d8d16566acaed609

23.11.2022 15:25:58

Составить уравнения касательной и нормали к кривой:
1) у=х^2— Зх + 4 в точке с абсциссой x=1;
9) у=4—х^2 в точке с абсциссой х =—1;
3) у= х^3 + 2х — 1 в точке с абсциссой х =0;
4) y=.. в точке с абсциссой x=3.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.11.2022 20:40:06

★

1) Уравнение касательной имеет вид ( см. скрин)

Поэтому находим


f `(x)=(x^2–3x +4)`=(x^2)`–3*(x)` +(4)`=2x-3+0

f `(x)=2x–3



[b]x_(o)=1[/b]


f(x_(o))=1^2–3*1 +4

f(x_(o))=[red]2[/red]


f `(x_(o))=2*1-3

f `(x_(o))=[blue]-1[/blue]



y=[red]2[/red]+([blue]-1[/blue])*(x-[b]1[/b])



[b]y=-х+3[/b]- уравнение касательной



y=[red]2[/red]-([blue]-1[/blue])*(x-[b]1[/b])

[b]y=x+1[/b] - уравнение нормали


2)

f `(x)=(4-x^2)`=(4)`–(x^2)`=0-2x=-2x

f `(x)=-2x



[b]x_(o)=-1[/b]


f(x_(o))=4-(-1)^2=4-1=3

f(x_(o))=[red]3[/red]


f`(x_(o))=-2*(-1)=2

f`(x_(o))=[blue]2[/blue]



y=[red]3[/red]+([blue]2[/blue])*(x-[b](-1)[/b])



[b]y=2х+5[/b]- уравнение касательной



y=[red]2[/red]-([blue]1/2[/blue])*(x-[b](-1)[/b])

[b]y=(-1/2)x+(3/2)[/b] - уравнение нормали



3)

f `(x)=(x^3+2x-1)`=(x^3)`+(2x)`+(-1)`=3x^2+2

f `(x)=3x^2+2



[b]x_(o)=0[/b]


f(x_(o))=0^3+2*0-1=-1

f(x_(o))=[red]-1[/red]


f`(x_(o))=3*0^2+2=2

f`(x_(o))=[blue]2[/blue]



y=[red]-1[/red]+([blue]2[/blue])*(x-[b]0[/b])



[b]y=2х-1[/b]- уравнение касательной



y=[red]2[/red]-([blue]1/2[/blue])*(x-[b]0[/b])

[b]y=(-1/2)x+2[/b] - уравнение нормали



4)
f `(x)=((1/3)x^3-2x^2+3x+1)`=(1/3)(x^3)`-2(x^2)`+3(x)`+(1)`=x^2-4x+3

f `(x)=x^2-4x+3



[b]x_(o)=3[/b]


f(x_(o))=(1/3)*3^3-2*3^2+3*3+1

f(x_(o))=[red]1[/red]


f`(x_(o))=3^2-4*3+3

f`(x_(o))=[blue]0[/blue]



y=[red]3[/red]+([blue]0[/blue])*(x-[b]3[/b])



[b]y=3[/b]- уравнение касательной





[b]x=3[/b] - уравнение нормали

637f5fc108d2897163e63200

24.11.2022 15:29:57

f `(x)=(x2–3x +4)`=(x2)`–3·(x)` +(4)`=2x–3+0
f `(x)=2x–3
xo=1
f(x0)=12–3·1 +4
f(x0)=2
f `(x0)=2·1–3
f `(x0)=–1
y=2+(–1)·(x–1)
y=–х+3– уравнение касательной
y=2–(–1)·(x–1)
y=x+1 – уравнение нормали

2)
f `(x)=(4–x2)`=(4)`–(x2)`=0–2x=–2x
f `(x)=–2x
x0=–1
f(x0)=4–(–1)2=4–1=3
f(x0)=3
f`(x0) =–2·(–1)=2
f`(x0) =2
y=3+(2)·(x–(–1))
y=2х+5– уравнение касательной
y=2–(1/2)·(x–(–1))
y=(–1/2)x+(3/2) – уравнение нормали

3)
f `(x)=(x3+2x–1)`=(x3)`+(2x)`+(–1)`=3x2+2
f `(x)=3x2+2
x0=0
f(x0)=03+2·0–1=–1
f(x0)=–1
f`(x0)=3·02+2=2
f`(x0)=2
y=–1+(2)·(x–0)
y=2х–1– уравнение касательной
y=2–(1/2)·(x–0)
y=(–1/2)x+2 – уравнение нормали

4)
f `(x)=((1/3)x3–2x2+3x+1)`=(1/3)(x3)`–2(x2)`+3(x)`+(1)`=x2–4x+3
f `(x)=x2–4x+3
x0=3
f(x0)=(1/3)·33–2·32+3·3+1
f(x0)=1
f`(x0)=32–4·3+3
f`(x0)=0
y=3+(0)·(x–3)
y=3– уравнение касательной
x=3 – уравнение нормали