Задача 67100 ...

637a21dd9a673a6d10c0b23b

23.11.2022 13:09:05

Даны плоскость π и прямая l. Найти точку их пересечения. Составить
векторное параметрическое уравнение ортогональной проекции m прямой l на
плоскость π, взяв в качестве опорной точки точку пересечения.

[r][b]π: 171x − 35y − 434z − 741 = 0; l: x = −4 − 6t, y = 3 + 2t, z = 4 + 5t[/b][/r]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.11.2022 14:15:31

★

[m]\left\{\begin {matrix}171x − 35y − 434z − 741 = 0\\ x = −4 − 6t\\y = 3 + 2t\\z = 4 + 5t\end {matrix}\right.[/m]

[m]171\cdot (-4-6t)-35\cdot (3+2t)-434\cdot (4+5t)-741=0[/m]

[m]-684-1026t-105-70t-1736-2170t-741=0[/m]

[m] -3266t-3266=0[/m]

[m]t=-1[/m]

Находим координаты точки K (2;1;-1)

[m]\left\{\begin {matrix} x = −4 − 6\cdot (-1)=2\\y = 3 + 2\cdot (-1)=1\\z = 4 + 5\cdot (-1)=-1\end {matrix}\right.[/m]

От параметрического уравнения прямой
[m]\left\{\begin {matrix} x = −4 − 6t\\y = 3 + 2t\\z = 4 + 5t\end {matrix}\right.[/m]

переходим к каноническому

[m]\left\{\begin {matrix} x +4= − 6t\\y - 3 = 2t\\z - 4 = 5t\end {matrix}\right.[/m] ⇒

[m]\left\{\begin {matrix}t \frac{x+4}{-6}\\t= \frac{y-3}{2}\\t= \frac{z-4}{5}\end {matrix}\right.[/m] ⇒

[m] \frac{x+4}{-6}= \frac{y-3}{2}= \frac{z-4}{5}[/m]

В этом уравнении A(-4;3;4) - координаты точки, через которую проходит прямая

и координаты направляющего вектора прямой vector{q}=(-6;2;5) ( хотя можно их найти непосредственно в параметрическом уравнении)

Найдем проекцию P точки на плоскость ( cм. задачу https://reshimvse.com/question/637df155d901177e05b87a43 )

[m]171x − 35y − 434 z − 741 = 0[/m]

vector{n}=(171;-35;434)

Составляем уравнение прямой, проходящей через точку А(-4;3;4)
с направляющим вектором vector{n}=(171;-35;434)

[m] \frac{x+4}{171}= \frac{y-3}{-35}= \frac{z-4}{434}[/m]

Решаем систему уравнений:

[m]\left\{\begin {matrix}171x − 35y − 434 z − 741 = 0\\\frac{x+4}{171}= \frac{y-3}{-35}= \frac{z-4}{434}\end {matrix}\right.[/m]

Параметризуем уравнение прямой:

[m] \frac{x+4}{171}= \frac{y-3}{-35}= \frac{z-4}{434}=t[/m] ⇒

[m]\frac{x+4}{171}=t[/m] ⇒ [m]x=171t-4[/m]

[m]\frac{y-3}{-35}=t[/m] ⇒ [m]y=-35t+3[/m]

[m] \frac{z-4}{434}=t[/m] ⇒ [m]z=434t+4[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}171x − 35y − 434z − 741 = 0\\x=171t-4\\y=-35t+3\\z=434t+4\end {matrix}\right.[/m]

[m]171\cdot (171t-4)-35\cdot (-35t+3)-434\cdot (434t+4)-741=0[/m]

[m] t=[/m]

Находим координаты точки Р- точки пересечения перпендикуляра и плоскости

Составляем уравнение прямой РК как прямой, проходящей через две точки.

Калькулятор и считайте... Числа громоздкие