Задача 66425 Найти общее решение ДУ: y'+4y/x =...

6238ea50e1d52d1b28ce9bde

23.10.2022 23:22:39

Найти общее решение ДУ: y'+4y/x = 4x^5
y'' - 9y' = 3x^2+3x+1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.10.2022 23:33:06

★

3)
Линейное

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(4/x)*u*v=4x^5

Группируем

u`*v+u*(v`+(4/x)*v)=4x^5

Условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)

v`+(4/x)*v=0

тогда
u`*v=4x^5


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными
v`+(4/x)*v=0

dv/v=-4dx/x ⇒ ∫ dv/v=-4 ∫ dx/x

lnv=-4lnx

lnv=lnx^(-4)

lnv=ln(1/x^4)

v=1/x^4

Подставляем во второе


u`*v=4x^5

u`*(1/x^4)=4x^5

u`=4x^9

u=5x^(10)/10+C


y=u*v=((1/2)x^(10)+C)*1/x^4

[b]y=(1/2)x^6+(C/x^4)[/b]


Второе уравнение - линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решаем [i]однородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y`` - 9y` =0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9k=0

k*(k-9)=0

k=0; k=9- корни характеристического уравнения , действительные различные.

В этом случае общее решение имеет вид:

y=C_(1)*e^(0x)+C_(2)*e^(9x)

[b]y=C_(1)+C_(2)*e^(9x)[/b] - общее решение уравнения y`` -9y` =0



Частное решение находим в виде, который зависит от правой части и корней характеристического уравнения


y_(частное неодн)=х*(Ax^2+Bx+C) или y_(частное неодн)=Ax^3+Bx^2+Cx

Находим производные:

y`_(частное неодн)=Ax^3+Bx^2+Cx

y``_(частное неодн)=Ax^3+Bx^2+Cx

Подставляем в данное уравнение и [b]находим А. В. С[/b]

и тогда

y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное неодн)=C_(1)+C_(2)*e^(9x)+Ax^3+Bx^2+Cx