Задача 66125 20.4. Решите однородное...
Условие
1) 4cos^2 x + sin x cosx + 3sin^2 x - 3 = 0;
2) cos^2 x - 3sin x cosx = -1;
Решение
1) так как
sin^2x+cos^2x=1,
и
3=3*1=3*(sin^2x+cos^2x)
то уравнение принимает вид:
4cos^2x-sinx*cosx+3sin^2x-3*(sin^2x+cos^2x)=0
4cos^2x-sinx*cosx+3sin^2x-3sin^2x-3cos^2x=0
cos^2x-sinx*cosx=0
cosx*(cosx-sinx)=0
сosx=0 [b]или[/b] (cosx-sinx)=0 - однородное тригонометрическое уравнение первого порядка
сosx=0 ⇒ [b]х=(π/2)+π n, n ∈ Z [/b]
cosx-sinx=0 ⇒ Делим на cosx ≠ 0 ⇒ tgx=1 ⇒ [b] х=(π/4)+π n, n ∈ Z [/b]
О т в е т. [b]х=(π/2)+π n, n ∈ Z [/b]; [b] х=(π/4)+π n, n ∈ Z [/b]
2)
cos^2x-3sinx*cosx=-1
так как
sin^2x+cos^2x=1,
то уравнение принимает вид:
cos^2x-3sinx*cosx=-sin^2x-cos^2x.
sin^2x-3sinx*cosx+2cos^2x=0
Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка ( все слагаемые второй степени)
Делим на cos^2x ≠ 0 ( если например, cosx=0, то подставив в уравнение получаем 2sin2x–3·0–2·0=0 ⇒ sinx=0
чего быть не может, т.е синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)
tg^2x–3tgx+2=0
Получили квадратное уравнение относительно тангенса
D=(–3)^2–4·1·2=9-8=1
tgx=–1 или tgx=2
x=–(π/4)+π n, n ∈ Z или x=arctg 2+π k, k ∈ Z
О т в е т. –(π/4)+π n,n ∈ Z ; arctg 2+π k, k ∈ Z