Задача 65824 1. Составить уравнение прямой,...

lilbenzin

27 сентября 2022 г. в 15:04

1. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат равные положительные отрезки, если длина отрезка, заключенного между осями координат, равна 10.
а) Записать его в общем виде, уравнением с угловым коэффициентом, уравнением в отрезках, нормальным уравнением.
б) Определить:
– длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую,
– расстояние от точки (1,2) до этой прямой,
– угол между этой прямой и прямой x+y–6=0

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых: 2x–5y+11=0
5x+2y–16=0 и параллельно оси ординат.

exponenta

27 сентября 2022 г. в 15:11

★

1.

a)
Отрезки, отсекаемые на осях координат– катеты прямоугольного равнобедренного треугольника

AOB с гипотенузой AB=10 ( см. рис.)

Значит, координаты точек А(0; 5√2); B(5√2;0).

Составляем уравнение прямой, проходящей через точки А и В



Уравнение прямой в отрезках:

$\frac{x}{5\sqrt{2}}+\frac{y}{5\sqrt{2}}=1$

⇒

$x+y=5\sqrt{2}$– общее уравнение прямой вида: $ax+by=c$ или

$x+y- 5\sqrt{2}=0$ вида: $ax+by+c=0$

$y=-x+5\sqrt{2}$ – уравнение прямой с угловым коэффициентом вида y=kx+b


Нормальное уравнение прямой имеет вид:

$xcos α+ysin α- p=0$

$x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+y\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-5=0$ – нормальное уравнение искомой прямой


б) длина перпендикуляра, опущенного из начала координат О на АВ

это высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла на гипотенузу.

Эта высота равна половине гипотенузы..

О т в е т 5

Расстояние от точки (1;2) до этой прямой ( см формулу в скрине):

$d=\frac{|1+2-5\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$d=\frac{|3-5\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$


Прямые

$x+y-5\sqrt{2}=0$ и $x+y-6=0$– параллельны.

Угол между ними 0 °


Находим координаты точки пересечения прямых.

Решаем систему:

{2x–5y+11=0
{5x+2y–16=0

Умножаем первое уравнение на 2, второе на 5

{4x–10y+22=0
{25x+10y–80=0

Складываем:

29х–58=0

х=2

2·2–5y+11=0

–5y=–15

y=–3

M(2;–3) – точка пересечения прямых

х=2 – уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно оси ординат