Задача 65496 Построить область интегрирования...

613af9eabdb7e738ec381d49

5 сентября 2022 г. в 14:25

Построить область интегрирования изменить порядок интегрирования в интеграле

5f3ea7e3faf909182968ddd9

5 сентября 2022 г. в 19:23

★

0 ≤ х ≤ 1

√2x–x² ≤ y ≤ \sqrt{4x}


Строим y=√2x–x² – это полуокружность с центром в точке (1;0) радиуса 1

Возводим в квадрат:


y²=2x–x²

x²–2x+y²=0

x²–2x+1+y²=1


(x–1)²+y²=1 это окружность


y=√4x – парабола

y²=4x ⇒

x=(1/4) y²


На рисунке область закрашена.

Это область вертикального входа.

Входим в направлении оси Оу

Теперь надо входить в направлении оси Ох


Для этого область делим на две части ( желтая линия y=1)

Тогда

(x–1)²+y²=1 ⇒ x–1= ± √1–y² ⇒

левая

x=1–√1–y²

правая

х=1+√1–y²

Области принадлежит левая полуокружность

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ 1–√1–y²


Вторая часть

1 ≤ y ≤ 2

(1/4)y² ≤ x ≤ 1

x=(1/4)x² – левая линия, линия входа в область

x=1 – правая линия, линия выхода из области

Это означает, что интеграл можно представить как сумму интегралов по области 1 и по области 2:

= ∫ 01( ∫ 01–√1–y2 f(x;y)dx)dy+ ∫ 12( ∫ (1/4)y21 f(x;y)dx)dy