Задача 65256 Уравнение плоскости, проходящей через...

Eliza

1 июля 2022 г. в 09:48

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(3;0;0) B(0;2;0) C(0;0;1).

exponenta

1 июля 2022 г. в 10:20

★

Уравнение плоскости имеет вид:

ax+by+cz+d=0


Подставляем координаты точки А:
a·3+b·0+c·0+d=0 ⇒ 3a+d=0

Подставляем координаты точки B:
a·0+b·2+c·0+d=0 ⇒ 2b+d=0

Подставляем координаты точки C:
a·0+b·0+c·1+d=0 ⇒ c+d=0

Решаем систему трех уравнений:

[m]\left\{\begin {matrix}3a+d=0\\ 2b+d=0\\ c+d=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}a=-\frac{d}{3}\\ b=-\frac{d}{2}\\ c=-d\end {matrix}\right.[/m]

Тогда

ax+by+cz+d=0 принимает вид:

(–d/3)x+(–d/2)y–dz+d=0

или

(x/3)+(y/2)+z=1 получили уравнение плоскости в отрезках, которые плоскость отрезает на координатных осях

на оси Ох 3

на оси Оу 2

на оси Оz 1

626fab9a354ab65fb2f43abb

1 июля 2022 г. в 21:22

В аналитической геометрии уравнение плоскости через 3 точки A, B, C записывается определителем:
[m]\begin{vmatrix}
x - xA & y - yA & z - zA\\
xB - xA & yB - yA & zB - zA\\
xC - xA& yC - yA & zC - zA
\end{vmatrix} = 0[/m]
В нашем случае: A(3; 0; 0); B(0; 2; 0); C(0; 0; 1):
[m]\begin{vmatrix}
x-3 & y-0 & z-0\\
0-3 & 2-0 & 0-0\\
0-3 & 0-0 & 1-0
\end{vmatrix} = 0[/m]
Упрощаем:
[m]\begin{vmatrix}
x-3 & y & z\\
-3 & 2 & 0\\
-3 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 0[/m]
По правилу решения определителей:
(x – 3)·2·1 + y·0(–3) + z·0(–3) – (x – 3)·0·0 – y·1(–3) – z(–3)·2 = 0
Раскрываем скобки и упрощаем:
2x – 6 + 0 + 0 – 0 + 3y + 6z = 0
Ещё упрощаем:
2x + 3y + 6z – 6 = 0
Разделив всё на 6, получим уравнение в отрезках:
x/3 + y/2 + z = 1