Задача 65141 через точку M(1,5,-1) провести прямую...

62ad598efb0f1c32e9b0788c

18 июня 2022 г. в 07:51

через точку M(1,5,–1) провести прямую перпендикулярную к прямым
2x–y+3z+4=0
–x+2y+2z–2=0



x–y–z+1=0
2x+y+4z=0

exponenta

18 июня 2022 г. в 09:11

★

Прямая L₁ задана как линия пересечения двух плоскостей:
[m]\left\{\begin {matrix}2x–y+3z+4=0\\–x+2y+2z–2=0\end {matrix}\right.[/m]

2x–y+3z+4=0 ⇒ N₁=(2;–1;3)
–x+2y+2z–2=0⇒ N₂=(1;2;2)

a₁=[N₁,N₂]–направляющий вектор прямой L₁

a₁=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&3\\1&2&2\end {vmatrix}=-8\vec{i}-\vec{j}+5\vec{k}[/m]

a₁=(–8;–1;5)


Прямая L₂ задана как линия пересечения двух плоскостей:
[m]\left\{\begin {matrix}x–y–z+1=0\\2x+y+4z=0\end {matrix}\right.[/m]

x–y–z+1=0 ⇒ N₃=(1;–1;–1)
2x+y+4z=0⇒ N₄=(2;1;4)

a₂=[N₃,N₄]–направляющий вектор прямой L₂

a₂=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&-1\\2&1&4\end {vmatrix}=-3\vec{i}-6\vec{j}+3\vec{k}[/m]

a₂=(–3;–6;3)



a=[a₁,a₂] – направляющий вектор искомой прямой

a=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-8&-1&5\\-3&-6&3\end {vmatrix}=27\vec{i}+9\vec{j}+45\vec{k}[/m]

a=(27;9;45)

Тогда уравнение прямой, проходящей через точку M(1,5,–1) c направляющим вектором a=(27;9;45) имеет вид:

[m]\frac{x-1}{27}=\frac{y-5}{9}=\frac{z+1}{45}[/m]