Задача 64539 1. Найти острый угол между прямыми 3x –...

Legenda111

12 мая 2022 г. в 17:32

1. Найти острый угол между прямыми 3x – 4y + 8 = 0 и 2x – 6y =10 .
2. Составить уравнение прямой в полярных координатах, если известно, что она проходит через точку M(4 ; p/4)и наклонена к полярной оси под углом p/6 .
3. Дан треугольник с вершинами в точках A(2; –3), B(1; 6), C(–6; 3) . Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.
4. Какая из прямых 3x – 4y + 5 = 0 и 2x + 7y – 1 = 0 отсекает на оси ординат отрезок большей длины?
5. Через точку пересечения прямых 3x + y – 5 = 0 и 2x + 4y –13 = 0 провести прямую (не совпадающую с данными), отсекающую на осях равные отрезки и написать её уравнение.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12 мая 2022 г. в 19:16

★

1.
Уравнения общего вида
3x – 4y + 8 = 0 и 2x – 6y =10 задают прямые.

Геометрический смысл коэффициентов уравнений: – координаты направляющих векторов

n₁=(3;–4) и n₂=(2;–6)

Угол между прямыми ( см. формулу в скрине)

Oбозначим
n₁=a
n₂= b

И найдем косинус угла между векторами, пользуясь определением скалярного произведения


2. Составить уравнение прямой в полярных координатах, если известно, что она проходит через точку M(4 ; p/4)и наклонена к полярной оси под углом p/6 .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в декартовых координатах имеет вид:

y=kx+b

Геометрический смысл углового коэффициента k

k=tg α , α – угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ох


По условию прямая наклонена к полярной оси под углом π/6 .

В полярных координатах полярная ось совпадает с осью Ох

k=tg (π/6)=√3/3


Значит уравнение прямой y=(√3/3)x + b


Чтобы найти b подставляем координаты точки М

M(4 ; p/4)– полярные координаты точки.

Декартовы координаты:

x=4·cos(π/4)=4·(√2/2)=2√2

y=4·sin(π/4)=4·(√2/2)=2√2

y=(√3/3)x + b

2√2=(√3/3)·(2√2)+b


b=2√2·(3–√3)/3

Уравнение прямой в декартовых координатах

y=(√3/3)x +2√2·(3–√3)/3

Переходим к полярным координатам:

x= ρ ·cos θ

y= ρ ·sin θ

ρ ·sin θ

ρ ·sin θ=(√3/3)· ρ ·cos θ +2√2·(3–√3)/3 ⇒ ρ ·sin θ–(√3/3)· ρ ·cos θ =2√2·(3–√3)/3


выражаем ρ =(2√2·(3–√3)/3)/( sin θ–(√3/3)· cos θ )

Это и есть уравнение окружности в полярных координатах


3. Дан треугольник с вершинами в точках A(2; –3), B(1; 6), C(–6; 3) .

O(x_o;y_o

АO=BO=CO

[m]AO=\sqrt{(x_{o}-2)^2+(y_{o}-(-3))^2}[/m]

[m]BO=\sqrt{(x_{o}-1)^2+(y_{o}-6)^2}[/m]

[m]CO=\sqrt{(x_{o}-(-6))^2+(y_{o}-3)^2}[/m]

[m]\sqrt{(x_{o}-2)^2+(y_{o}-(-3))^2}=\sqrt{(x_{o}-1)^2+(y_{o}-6)^2}[/m]

[m]\sqrt{(x_{o}-1)^2+(y_{o}-6)^2}=\sqrt{(x_{o}-(-6))^2+(y_{o}-3)^2}[/m]

Решаем систему и находим координаты центра окружности



4. Какая из прямых 3x – 4y + 5 = 0 и 2x + 7y – 1 = 0 отсекает на оси ординат отрезок большей длины?

Прямая, заданная уравнением: 3x – 4y + 5 = 0,

пересекает ось Оу в точке x=0

–4y+5=0 ⇒ y=5/4

Значит прямая отсекает на оси ординат отрезок длины (5/4)

Прямая, заданная уравнением: 2x + 7y – 1 = 0,

пересекает ось Оу в точке x=0

7y–1=0 ⇒ y=1/7
Прямая, заданная уравнением: 2x + 7y – 1 = 0,отсекает на оси ординат отрезок длины (1/7)

5/4 > 1/7

Прямая, заданная уравнением: 3x – 4y + 5 = 0, отсекает на оси ординат отрезок большей длины


5. Находим координаты точки пересечения прямых
3x + y – 5 = 0 и 2x + 4y –13 = 0

Решаем систему уравнений:

{3x + y – 5 = 0 ( умножаем на (–2))
{ 2x + 4y –13 = 0 ( умножаем на 3


{–6x–2y+10=0
{6x+12y–39=0

Складываем 10y–29=0

y=2,9

x=0,7

Если искомая прямая отсекает на осях координат равные отрезки, то значит прямая проходит через точки вида
(0;а) и (а;0)

или

(0;а) и (–а;0)


Составляем уравнение прямой, проходящей через точки

(0,7;2,9)
(0;а)
(а;0)

Будем находить уравнение в виде:
y=kx+b

Подставляем координаты точки (0;а)

a=0+b

b=a

Подставляем координаты точки (a;0)

0=ka+a

k=–1

y=–x+a

Подставляем координаты точки (0,7;2,9)

2,9=–0,7+a

a=3,6

О т в е т. y=–x+3,6

См. рис.

Уравнение второй прямой составляйте самостоятельно