Задача 63860 ...

kolkol123

3 апреля 2022 г. в 09:57

Решите неравенство

exponenta

3 апреля 2022 г. в 10:31

★

ОДЗ:
[m]\left\{\begin {matrix}x^2-x+30>0\\x^4-2x^3+x^2>0\\x^2-x-1>0\\x^2-x-1 ≠1\\x+3 >0\\x+3 ≠1 \end {matrix}\right.[/m]

[m]x^2-x+30>0[/m] верно при любых х, так как D<0

[m]x^4-2x^3+x^2>0[/m]

[m](x^2-2x+1)\cdot x^2>0[/m]

[m](x-1)^2\cdot x^2>0[/m]верно при любых х, кроме x=1;x=0


[m] x^2-x-1>0[/m] D=5; x₁=[m]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m] ; x₂=[m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]

⇒ x <[m]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m] или x > [m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]

[m] x^2-x-1 ≠ 1[/m]

[m]x^2-x-2 ≠ 0[/m] ⇒ x≠ –1; x≠ 2

Итак, ОДЗ:

[m]x ∈ (-3;-2)\cup (-2;-1) \cup (-1; \frac{1-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2}; 2)\cup (2;+ ∞ )[/m]


Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево и получаем

[m]log_{x^2-x-1} (x^2-x+30) ≥ log_{x^2-x-1}(x^4-2x^3+x^2)[/m]

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

[m](x^2-x-1-1) (x^2-x+30-x^4+2x^3-x^2) ≥0 [/m]

[m](x^2-x-2) (-x^4+2x^3-x+30) ≥0 [/m]

[m](x+1)(x-2) (x^4-2x^3+x-30) ≤ 0 [/m] Замечаем, что x=–2 и х=3 – корни многочлена x⁴–2x³+x–30

[m](x+1)(x-2) (x+2)(x-3)(x^2-x+5) ≤ 0 [/m] x²–x+5 > 0 при любых х, D=1–4·5 <0

[m](x+1)(x-2) (x+2)(x-3) ≤ 0 [/m]

Решаем методом интервалов

_____+___ [–2] __–___ [–1] ___+___[2] __–__ [3] __+___


и с учетом ОДЗ получаем ответ
[m]x ∈(-2;-1)\cup(-1; \frac{1-\sqrt{5}}{2})\cup (2;3)[/m]