(x^2-7x+12)*log(x-2)(x-3)*ln(x-6)^2 / 2x^2-11x+14 ≤ 0
[m]\left\{\begin {matrix}x-2>0\\x-2 ≠1\\ x-3>0\\(x-6)^2>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x>2\\x ≠3\\ x>3\\x ≠ 6\end {matrix}\right.[/m]⇒[m]x ∈ (3;6)\cup(6;+ ∞ )[/m]
Раскладываем квадратный трехчлен [m]x^2-7x-12[/m] на множители.
D=49-48=1; корни [m]x_{1,2}=\frac{7\pm1}{2}[/m]
[m]x^2-7x-12=(x-3)(x-4)[/m]
Раскладываем квадратный трехчлен [m]2x^2-11x+14[/m] на множители.
D=121-112=9; корни [m]x_{3,4}=\frac{11\pm3}{4}[/m]
[m]2x^2-11x+14=2(x-2)(x-3,5)[/m]
По формуле перехода к другому основанию:
[m]log_{x-2}(x-3)=\frac{ln(x-3)}{ln(x-2)}[/m]
Неравенство можно записать так:
[m]\frac{(x-3)(x-4)ln(x-3)ln(x-6)^2}{2(x-2)(x-3,5)ln(x-2)} ≤0 [/m]
Применяем обобщенный[i] метод интервалов[/i].
Нули числителя:
[red] x=3[/red];
[b]x=4;[/b]
ln(x-3)=0 ⇒ x-3=1 ⇒ [b]x=4[/b]
ln(x-6)^2=0 ⇒ (x-6)^2=1 ⇒ x-6= ± 1 ⇒ x=7; x=5
Нули знаменателя:
x=2
x=3,5
ln(x-2)=0 ⇒ x-2=1 ⇒[red] x=3[/red]
[red] x=3[/red] - одновременно и нуль числителя и нуль знаменателя.
Отмечаем незакрашенным кружком ( на рисунке круглые скобки)
При переходе через точку [red] x=3[/red] не меняется знак
[b]x=4[/b]- в числителе встречается дважды.
При переходе через точку [b]x=4[/b] не меняется знак
При (x-6)^2 ≠ 0 при переходе через[b]x=6[/b] не меняется знак
Справа от 7 плюс, далее знаки чередуем с учетом вышеизложенного :
_______ (2) __-___ (3) _-__ (3,5) __+___ [4] _+__ [5] __-__ (6) __-____ [7] _+_
С учетом ОДЗ получаем ответ
[b](3;3,5) U{4}U{5;6)U(6;7][/b]