Задача 63769 3.Найти полные дифференциалы функций ...
Условие
Решение
[m]dz=\frac{ ∂z }{ ∂x }dx+\frac{ ∂z }{ ∂y }dy[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=z`_{x}=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})`_{x}[/m] применяем правило: [m](\frac{u}{v})`=\frac{u`\cdot v-u\cdot v`}{v^2}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=\frac{(x)`_{x}\cdot \sqrt{x^2+y^2}-x\cdot (\sqrt{x^2+y^2})`_{x} }{(\sqrt{x^2+y^2})^2}=\frac{ 1\cdot \sqrt{x^2+y^2}-x\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}})\cdot (x^2+y^2)`_{x} }{x^2+y^2}=\frac{ \sqrt{x^2+y^2}-x\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}})\cdot (2x) }{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2-x^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }dy=z`_{y}=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})`_{y} [/m] применяем правило: [m](\frac{u}{v})`=\frac{u`\cdot v-u\cdot v`}{v^2}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=\frac{(x)`_{y}\cdot \sqrt{x^2+y^2}-x\cdot (\sqrt{x^2+y^2})`_{x} }{(\sqrt{x^2+y^2})^2}=\frac{ 0\cdot \sqrt{x^2+y^2}-x\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}})\cdot (x^2+y^2)`_{y} }{x^2+y^2}=\frac{ 0\cdot \sqrt{x^2+y^2}-x\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}})\cdot (2y) }{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2-y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}[/m]
[m]dz=\frac{1}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}(y^2dx+x^2dy)[/m]