Задача 63436 Решить неравенство log^2_4 (2x) +...

Придурковатый

28 февраля 2022 г. в 17:01

Решить неравенство log²₄ (2x) + log_1/2 √x/2 > 1,5

exponenta

28 февраля 2022 г. в 17:28

★

ОДЗ:

$\left\{\begin {matrix}2x>0\\x>0\end {matrix}\right.$ ⇒ x>0



По формуле перехода к другому основанию:

$log_{4}2x=\frac{log_{2}2x}{log_{2}4}$

Применяем свойство логарифма произведения:

$log_{2}2x=log_{2}x+log_{2}2=log_{2}x+1$ ⇒ $log^2_{4}2x=(\frac{log_{2}x+1}{2})^2$


По формуле перехода к другому основанию:
$log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{log_{2}\frac{\sqrt{x}}{2}}{log_{2}\frac{1}{2}}$

Применяем свойство логарифма степени и логарифма частного:

$log_{2}\frac{\sqrt{x}}{2}=log_{2}\sqrt{x}-log_{2}2=\frac{1}{2}log_{2}x-1$


Тогда неравенство можно записать в виде


$(\frac{log_{2}x+1}{2})^2+\frac{\frac{1}{2}log_{2}x-1}{(-1)}>1, 5$


$\frac{log^2_{2}x+2 log_{2}x+1}{4}-\frac{1}{2}log_{2}x+1>\frac{3}{2}$


Умножаем на 4:

$log^2_{2}x+2 log_{2}x+1-2log_{2}x+4>6$

$log^2_{2}x-1>0$


$(log_{2}x-1)(log_{2}x+1)>0$ ⇒ \\\\\\\\ (–1) _____ (1) /////////

$log_{2}x<-1$ или $log_{2}x>1$

С учетом ОДЗ:

0 <$x < \frac {1}{2}$ или $x> 2$

О т в е т $(0;\frac {1}{2}) \cup (2:+ ∞ )$