Задача 63300 Решить предел ...
Условие
Решение
[m](n+10)^{\frac{1}{n}}=(n\cdot (1+\frac{10}{n}))^{\frac{1}{n}}=n^{\frac{1}{n}}\cdot ((1+\frac{10}{n}))^{\frac{1}{n}}[/m]
[m]lim_{n → ∞} n^{\frac{1}{n}}[/m] неопределенность ( ∞ ^(0))
Применяем основное логарифмическое тождество: [m]n=e^{lnn}[/m]
[m]lim_{n → ∞} n^{\frac{1}{n}}=lim_{n → ∞}(e^{lnn})^{\frac{1}{n}}=lim_{n → ∞}e^{\frac{1}{n}\cdot lnn} [/m]
меняем знак предела и знак непрерывной функции ( показательной с основанием е)
[m]=e^{lim_{n → ∞}\frac{ln}{n}}= [/m] применяем правило лопиталя для вычисления предела показателя
меняем переменную n на переменную х ( чтобы можно было дифференцировать)
[m]=e^{lim_{x → ∞}\frac{(lnx)`}{(x)`}}=e^{lim_{x → ∞}\frac{\frac{1}{x}}{1}}=e^{0}=1[/m]
[m]lim_{n → ∞} ((1+\frac{10}{n}))^{\frac{1}{n}}=1^{0}=1[/m]
Значит [m]lim_{n → ∞} x_{n}=1[/m]
2)
-1 ≤ sin(10n) ≤ 1
⇒
[m]\frac{10n-1}{17n+\sqrt{n}} ≤ y_{n} ≤ \frac{10n+1}{17n+\sqrt{n}}[/m]
Так как [m]lim_{n → ∞} \frac{10n-1}{17n+\sqrt{n}} = lim_{n → ∞}\frac{10n+1}{17n+\sqrt{n}}=\frac{10}{17}[/m]
[m]lim_{n → ∞} y_{n}=\frac{10}{17}[/m]
3)
-1 ≤ sin(πn/4) ≤ 1
⇒
[m]\frac{10n-1}{17n+\sqrt[4]{n}} ≤ z_{n} ≤ \frac{10n+1}{17n+\sqrt[4]{n}}[/m]
Так как [m]lim_{n → ∞} \frac{10n-1}{17n+\sqrt[4]{n}} = lim_{n → ∞}\frac{10n+1}{17n+\sqrt[4]{n}}=\frac{10}{17}[/m]
[m]lim_{n → ∞} z_{n}=\frac{10}{17}[/m]