Задача 63292 Дано скалярное поле u=u(x;y) а)Составить...
Условие
а)Составить уравнение линии уровня u=C и построить график.
б) вычислить с помощью градиента производную скалярного поля u=u(x;y) в точке А по направлению вектора АВ.
x^2+y^2-2x+2y C=2 A(1,5;-1- (sqrt3)/2 B(0;-1-(sqrt3)/2
Вариант 6 на фотографиии
Решение
A(1,5;–1– (sqrt3)/2) B(0;–1–(sqrt3)/2)
C=2
а)Составить уравнение линии уровня u=C и построить график.
x^2+y^2–2x+2y=2
Выделяем полные квадраты
(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)-2=2
(x-1)^2+(y+1)^2=4
это уравнение окружности с центром (1; -1) радиусом R=2
На уровне С=2 линия уровня -окружность (x-1)^2+(y+1)^2=4
б)
Производная по направлению:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=\frac{ ∂u }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }cos β [/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }|_{A}=\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{A}cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{A}cos β [/m]
Находим координаты направляющего вектора: [m]\vec{AB}=(0-1,5;0)=(-1,5;0)[/m]
Направляющие косинусы:
[m]cos α =-1[/m]; [m]cos β =0[/m];
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }=(x^2+y^2–2x+2y)`_{x}=2x-2[/m]
[m]\frac{ ∂u}{ ∂y }=(x^2+y^2–2x+2y)`_{y}=2y+2[/m]
Находим частные производные в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }_{A}=4\cdot (-1)+2=2\cdot 1,5+2=5[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }_{A}=2\cdot (-1-\frac{\sqrt{3}}{2})+2=-\sqrt{3}[/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=5\vec{i}-\sqrt{3}\vec{j}[/m]
